एलजेब्रा उदाहरण

$x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{2} - 2 x$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

चरण 1.1.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.1.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.2.2.1

$2 \cdot 1$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

चरण 1.1.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

चरण 1.1.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{- 1}{1}$

चरण 1.1.3.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = - 1$

चरण 1.1.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

चरण 1.1.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

चरण 1.1.4.2.1.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

चरण 1.1.4.2.1.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.2.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

चरण 1.1.4.2.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

चरण 1.1.4.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e = 0 - 1$

चरण 1.1.4.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$e = - 1$

चरण 1.1.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप ${(x - 1)}^{2} - 1$ में प्रतिस्थापित करें.

${(x - 1)}^{2} - 1$

चरण 1.2

समीकरण $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ में $x^{2} - 2 x$ के स्थान पर ${(x - 1)}^{2} - 1$ को प्रतिस्थापित करें.

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} + 2 y = 1$

चरण 1.3

दोनों पक्षों में $1$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $- 1$ ले जाएं.

${(x - 1)}^{2} - y^{2} + 2 y = 1 + 1$

चरण 1.4

$- y^{2} + 2 y$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

चरण 1.4.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.4.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.4.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.4.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$d = \frac{1}{- 1}$

चरण 1.4.3.2.1.3

ऋणात्मक को $\frac{1}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 1$

चरण 1.4.3.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$d = - 1$

चरण 1.4.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.4.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.2.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.4.4.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

चरण 1.4.4.2.1.3

$4$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$e = 0 - - 1$

चरण 1.4.4.2.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 + 1$

चरण 1.4.4.2.2

$0$ और $1$ जोड़ें.

$e = 1$

चरण 1.4.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(y - 1)}^{2} + 1$ में प्रतिस्थापित करें.

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

चरण 1.5

समीकरण $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ में $- y^{2} + 2 y$ के स्थान पर $- {(y - 1)}^{2} + 1$ को प्रतिस्थापित करें.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} + 1 = 1 + 1$

चरण 1.6

दोनों पक्षों में $1$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $1$ ले जाएं.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1 + 1 - 1$

चरण 1.7

$1 + 1 - 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 2 - 1$

चरण 1.7.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 1$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(1, 1)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 5.3.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + a, k)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(2, 1)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - a, k)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, 1)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h \pm a, k)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(2, 1), (0, 1)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $h$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h + c, k)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(1 + \sqrt{2}, 1)$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $h$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h - c, k)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(1 - \sqrt{2}, 1)$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 8.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 8.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 8.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 9.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 9.3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 9.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 9.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 9.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ रूप का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है.

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 1$

चरण 11

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 1$

चरण 11.2

$1 \cdot (x - (1)) + 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$x - (1)$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x - (1) + 1$

चरण 11.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x - 1 + 1$

चरण 11.2.2

$x - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.2.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$y = x + 0$

चरण 11.2.2.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$y = x$

चरण 12

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 1$

चरण 12.2

$- 1 \cdot (x - (1)) + 1$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = - 1 \cdot (x - 1) + 1$

चरण 12.2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1$

चरण 12.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x - 1 \cdot - 1 + 1$

चरण 12.2.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = - x + 1 + 1$

चरण 12.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = - x + 2$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = x, y = - x + 2$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(1, 1)$

शीर्ष: $(2, 1), (0, 1)$

फ़ॉसी: $(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

उत्क्रेंद्रता: $\sqrt{2}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

अनंतस्पर्शी: $y = x$ , $y = - x + 2$

चरण 15