एलजेब्रा उदाहरण

$x^{3} + 3 x + 2 x + 6$

चरण 1

$3 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$x^{3} + 5 x + 6$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 5 x + 6$ है.

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चरण 2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 2.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1 + 6$

चरण 2.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 5 \cdot - 1 + 6$

चरण 2.3.3

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 1 - 5 + 6$

चरण 2.3.4

$- 1$ में से $5$ घटाएं.

$- 6 + 6$

चरण 2.3.5

$- 6$ और $6$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 5 x + 6}{x + 1}$

चरण 2.5

$x^{3} + 5 x + 6$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

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चरण 2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

चरण 2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$

चरण 2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

चरण 2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

चरण 2.5.7

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$

चरण 2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

चरण 2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 2.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$

चरण 2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 2.5.12

भाज्य $6 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

चरण 2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

चरण 2.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

चरण 2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x + 6$

चरण 2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 5 x + 6$ लिखें.

$(x + 1) (x^{2} - x + 6)$