एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$x^{4} - x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

$x^{4}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.1.2

$- x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.1.3

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1.1

$1$ से गुणा करें.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2.1.2

$1$ को $- 20$ जोड़ $21$ के रूप में फिर से लिखें

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

चरण 1.2.2.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

चरण 1.2.2.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- 21 x - 20$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

चरण 1.2.2.3

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

$x^{3} (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

चरण 1.2.2.3.2

$(- 21 x - 20) (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

चरण 1.2.2.3.3

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

चरण 1.2.2.4

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1

$x^{3} - 21 x - 20$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 21 x - 20$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.2.4.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

चरण 1.2.2.4.1.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

चरण 1.2.2.4.1.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

चरण 1.2.2.4.1.1.3.3

$- 21$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 1 + 21 - 20$

चरण 1.2.2.4.1.1.3.4

$- 1$ और $21$ जोड़ें.

$20 - 20$

चरण 1.2.2.4.1.1.3.5

$20$ में से $20$ घटाएं.

$0$

चरण 1.2.2.4.1.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

चरण 1.2.2.4.1.1.5

$x^{3} - 21 x - 20$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.7

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.12

भाज्य $- 20 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 20 x - 20$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

चरण 1.2.2.4.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x - 20$

चरण 1.2.2.4.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 21 x - 20$ लिखें.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

चरण 1.2.2.4.1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 20$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 20$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.4.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 20$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 5, 4$

चरण 1.2.2.4.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

चरण 1.2.2.4.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

चरण 1.2.2.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 1.2.4

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 1.2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 1.2.5

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.6

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

चरण 1.2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 1.2.7

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 1.2.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 1.2.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, - 1, 5, - 4$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.5

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.6

${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.6.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.6.1.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

चरण 2.2.6.1.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.6.1.5

$- 21$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.6.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.6.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 20$

चरण 2.2.6.2.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 20$

चरण 2.2.6.2.4

$0$ और $20$ जोड़ें.

$y = 20$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 20)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 20)$

चरण 4