एलजेब्रा उदाहरण

$y^{3} - 27 = 9 y^{2} - 27 y$

चरण 1

$y$ के लिए हल करें.

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चरण 1.1

चूंकि $y$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$9 y^{2} - 27 y = y^{3} - 27$

चरण 1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{3}$ घटाएं.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} = - 27$

चरण 1.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $27$ जोड़ें.

$9 y^{2} - 27 y - y^{3} + 27 = 0$

चरण 1.4

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

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चरण 1.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27 = 0$

चरण 1.4.2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ है.

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चरण 1.4.2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1$

चरण 1.4.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

चरण 1.4.2.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.4.2.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$- 3^{3} + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

चरण 1.4.2.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 \cdot 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

चरण 1.4.2.3.3

$- 1$ को $27$ से गुणा करें.

$- 27 + 9 \cdot 3^{2} - 27 \cdot 3 + 27$

चरण 1.4.2.3.4

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 27 + 9 \cdot 9 - 27 \cdot 3 + 27$

चरण 1.4.2.3.5

$9$ को $9$ से गुणा करें.

$- 27 + 81 - 27 \cdot 3 + 27$

चरण 1.4.2.3.6

$- 27$ और $81$ जोड़ें.

$54 - 27 \cdot 3 + 27$

चरण 1.4.2.3.7

$- 27$ को $3$ से गुणा करें.

$54 - 81 + 27$

चरण 1.4.2.3.8

$54$ में से $81$ घटाएं.

$- 27 + 27$

चरण 1.4.2.3.9

$- 27$ और $27$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4.2.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $y - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27}{y - 3}$

चरण 1.4.2.5

$- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ को $y - 3$ से विभाजित करें.

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चरण 1.4.2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$3$

$y^{3}$

$9 y^{2}$

$27 y$

$27$

चरण 1.4.2.5.2

भाज्य $- y^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$y^{2}$
	$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$

चरण 1.4.2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

चरण 1.4.2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- y^{3} + 3 y^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

चरण 1.4.2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$

चरण 1.4.2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$y^{2}$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

चरण 1.4.2.5.7

भाज्य $6 y^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$

चरण 1.4.2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					+	$6 y^{2}$	-	$18 y$

चरण 1.4.2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 y^{2} - 18 y$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$

चरण 1.4.2.5.10

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$

चरण 1.4.2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

चरण 1.4.2.5.12

भाज्य $- 9 y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$

चरण 1.4.2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							-	$9 y$	+	$27$

चरण 1.4.2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 9 y + 27$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$

चरण 1.4.2.5.15

			-	$y^{2}$	+	$6 y$	-	$9$
$y$	-	$3$	-	$y^{3}$	+	$9 y^{2}$	-	$27 y$	+	$27$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					+	$6 y^{2}$	-	$27 y$
					-	$6 y^{2}$	+	$18 y$
							-	$9 y$	+	$27$
							+	$9 y$	-	$27$
										$0$

चरण 1.4.2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$- y^{2} + 6 y - 9$

चरण 1.4.2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $- y^{3} + 9 y^{2} - 27 y + 27$ लिखें.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 y - 9) = 0$

चरण 1.4.3

गुणनखंड करें.

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चरण 1.4.3.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 1.4.3.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ है और जिसका योग $b = 6$ है.

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चरण 1.4.3.1.1.1

$6 y$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$(y - 3) (- y^{2} + 6 (y) - 9) = 0$

चरण 1.4.3.1.1.2

$6$ को $3$ जोड़ $3$ के रूप में फिर से लिखें

$(y - 3) (- y^{2} + (3 + 3) y - 9) = 0$

चरण 1.4.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(y - 3) (- y^{2} + 3 y + 3 y - 9) = 0$

चरण 1.4.3.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

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चरण 1.4.3.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(y - 3) ((- y^{2} + 3 y) + 3 y - 9) = 0$

चरण 1.4.3.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(y - 3) (y (- y + 3) - 3 (- y + 3)) = 0$

चरण 1.4.3.1.3

महत्तम समापवर्तक, $- y + 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(y - 3) ((- y + 3) (y - 3)) = 0$

चरण 1.4.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(y - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

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चरण 1.4.4.1

$y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$(- 1 (- y) - 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.2

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$(- 1 (- y) - 1 \cdot 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.3

$- 1 (- y) - 1 (3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- 1 (- y + 3) (- y + 3) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.4

$- y + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.5

$- y + 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 ((- y + 3) (- y + 3)) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 1 {(- y + 3)}^{1 + 1} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 1 {(- y + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.8

$- y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- 1 {(- (y) + 3)}^{2} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.9

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 {(- (y) - 1 \cdot - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.10

$- (y) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- 1 {(- (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.11

$- (y - 3)$ को $- 1 (y - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 {(- 1 (y - 3))}^{2} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.12

उत्पाद नियम को $- 1 (y - 3)$ पर लागू करें.

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.13

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 (1 {(y - 3)}^{2}) (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.14

${(y - 3)}^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 {(y - 3)}^{2} (y - 3) = 0$

चरण 1.4.4.15

$y - 3$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 ((y - 3) {(y - 3)}^{2}) = 0$

चरण 1.4.4.16

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 1 {(y - 3)}^{1 + 2} = 0$

चरण 1.4.4.17

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$

चरण 1.5

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

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चरण 1.5.1

$- 1 {(y - 3)}^{3} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- 1 {(y - 3)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 1.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

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चरण 1.5.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{{(y - 3)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 1.5.2.2

${(y - 3)}^{3}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(y - 3)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

चरण 1.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

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चरण 1.5.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

${(y - 3)}^{3} = 0$

चरण 1.6

$y - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$y - 3 = 0$

चरण 1.7

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$y = 3$

चरण 2

$9 y^{2} - 27 y$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 = 0$

चरण 3

$3 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं