एलजेब्रा उदाहरण

$f (x) = 64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ ?

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.015625, \pm 0.5, \pm 0.03125, \pm 0.25, \pm 0.0625, \pm 0.125, \pm 125, \pm 1.953125, \pm 62.5, \pm 3.90625, \pm 31.25, \pm 7.8125, \pm 15.625, \pm 5, \pm 0.078125, \pm 2.5, \pm 0.15625, \pm 1.25, \pm 0.3125, \pm 0.625, \pm 25, \pm 0.390625, \pm 12.5, \pm 0.78125, \pm 6.25, \pm 1.5625, \pm 3.125$

चरण 1.3

$1.25$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1.25$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$1.25$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$64 \cdot {1.25}^{3} - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

चरण 1.3.2

$1.25$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$64 \cdot 1.953125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

चरण 1.3.3

$64$ को $1.953125$ से गुणा करें.

$125 - 240 \cdot {1.25}^{2} + 300 \cdot 1.25 - 125$

चरण 1.3.4

$1.25$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$125 - 240 \cdot 1.5625 + 300 \cdot 1.25 - 125$

चरण 1.3.5

$- 240$ को $1.5625$ से गुणा करें.

$125 - 375 + 300 \cdot 1.25 - 125$

चरण 1.3.6

$125$ में से $375$ घटाएं.

$- 250 + 300 \cdot 1.25 - 125$

चरण 1.3.7

$300$ को $1.25$ से गुणा करें.

$- 250 + 375 - 125$

चरण 1.3.8

$- 250$ और $375$ जोड़ें.

$125 - 125$

चरण 1.3.9

$125$ में से $125$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $1.25$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $4 x - 5$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125}{4 x - 5}$

चरण 1.5

$64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ को $4 x - 5$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$4 x$

$5$

$64 x^{3}$

$240 x^{2}$

$300 x$

$125$

चरण 1.5.2

भाज्य $64 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$16 x^{2}$
	$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			+	$64 x^{3}$	-	$80 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $64 x^{3} - 80 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$16 x^{2}$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $- 160 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					-	$160 x^{2}$	+	$200 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 160 x^{2} + 200 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$

चरण 1.5.10

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

चरण 1.5.12

भाज्य $100 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $4 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							+	$100 x$	-	$125$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $100 x - 125$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$

चरण 1.5.15

				$16 x^{2}$	-	$40 x$	+	$25$
$4 x$	-	$5$		$64 x^{3}$	-	$240 x^{2}$	+	$300 x$	-	$125$
			-	$64 x^{3}$	+	$80 x^{2}$
					-	$160 x^{2}$	+	$300 x$
					+	$160 x^{2}$	-	$200 x$
							+	$100 x$	-	$125$
							-	$100 x$	+	$125$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$16 x^{2} - 40 x + 25$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $64 x^{3} - 240 x^{2} + 300 x - 125$ लिखें.

$f (x) = (4 x - 5) (16 x^{2} - 40 x + 25)$

चरण 2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

$16 x^{2}$ को ${(4 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 25)$

चरण 2.2

$25$ को $5^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 40 x + 5^{2})$

चरण 2.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$40 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 5$

चरण 2.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$f (x) = (4 x - 5) ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 5 + 5^{2})$

चरण 2.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 4 x$ और $b = 5$ है.

$f (x) = (4 x - 5) {(4 x - 5)}^{2}$

चरण 3

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

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चरण 3.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{1 + 2}$

चरण 3.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f (x) = {(4 x - 5)}^{3}$