Exemples

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Étape 1

Attribuez un nom pour chaque vecteur.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Étape 2

Le premier vecteur orthogonal est le premier vecteur dans l’ensemble de vecteurs indiqué.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Étape 3

Utilisez la formule pour déterminer les autres vecteurs orthogonaux.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Étape 4

Déterminez le vecteur orthogonal ${v⃗}_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Utilisez la formule pour déterminer ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Étape 4.2

Remplacez ${u⃗}_{2}$ par $(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Étape 4.3

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Étape 4.3.1

Déterminez le produit scalaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Étape 4.3.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Étape 4.3.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 4.3.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 4.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Étape 4.3.2.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Étape 4.3.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{2}$ sur ${v⃗}_{1}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.4

Remplacez ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ par $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.5

Remplacez $| | {v⃗}_{1} | |$ par $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.6

Remplacez ${v⃗}_{1}$ par $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.7.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.3.7.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 4.4

Remplacez la projection.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.2

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 4.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Étape 4.5.8

Soustrayez $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5

Déterminez le vecteur orthogonal ${v⃗}_{3}$ .

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Étape 5.1

Utilisez la formule pour déterminer ${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Étape 5.2

Remplacez ${u⃗}_{3}$ par $(0, 0, 1)$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Étape 5.3

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

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Étape 5.3.1

Déterminez le produit scalaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Étape 5.3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Étape 5.3.1.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Étape 5.3.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 5.3.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 5.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 5.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Étape 5.3.2.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Étape 5.3.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{3}$ sur ${v⃗}_{1}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 5.3.4

Remplacez ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 5.3.5

Remplacez $| | {v⃗}_{1} | |$ par $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 5.3.6

Remplacez ${v⃗}_{1}$ par $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 5.3.7.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 5.3.7.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 5.3.7.3.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Déterminez le produit scalaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.2.1.1

Multipliez $0 (- \frac{2}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2.1.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Étape 5.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Étape 5.4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.4.2.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 5.4.2.2.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.13

Additionnez $4$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.15

Additionnez $5$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Étape 5.4.2.2.16

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.16.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Étape 5.4.2.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.4.2.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.4.2.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.2.2.17

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.18

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.19

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.19.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.19.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.19.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.4.2.2.19.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.4.2.2.19.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.19.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.19.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.19.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.5

Évaluez l’exposant.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.4.2.2.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.2.2.20.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 5.4.2.2.20.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 5.4.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{3}$ sur ${v⃗}_{2}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Étape 5.4.4

Remplacez ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Étape 5.4.5

Remplacez $| | {v⃗}_{2} | |$ par $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Étape 5.4.6

Remplacez ${v⃗}_{2}$ par $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.7.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 5.4.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 5.4.7.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.7.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.7.3.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.3.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.4.7.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.7.5.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.1.3

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.1.4

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.4.7.5.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.4.7.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Étape 5.4.7.5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Étape 5.5

Remplacez les projections.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Étape 5.6.2

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.3

Multipliez $- (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.4

Associez les fractions.

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Étape 5.6.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.4.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.4.2.2

Divisez $0$ par $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.5

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.6

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.7

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.6.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.9.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 5.6.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.6.12.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.6

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Étape 5.6.14

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.6.14.1

Soustrayez $2$ de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Étape 5.6.14.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Étape 5.6.15

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 5.6.15.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Étape 5.6.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Étape 5.6.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Étape 5.6.15.2.3

Réécrivez l’expression.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Étape 6

Déterminez la base orthonormale en divisant chaque vecteur orthogonal par sa norme.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Étape 7

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ où ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 7.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 7.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 7.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 7.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 7.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Étape 7.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 7.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Étape 7.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Étape 8

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ où ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Étape 8.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 8.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 8.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 8.3.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 8.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 8.3.13

Additionnez $4$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 8.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Étape 8.3.15

Additionnez $5$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Étape 8.3.16

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 8.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Étape 8.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 8.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 8.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 8.3.17

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Étape 8.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.4

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Étape 8.6.8

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Étape 9

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ où ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Étape 9.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 9.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.4

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 9.3.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 9.3.10

Additionnez $0$ et $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 9.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Étape 9.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Étape 9.3.13

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 9.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 9.3.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.15

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 9.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 9.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6

Simplifiez

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Étape 9.6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.4

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Étape 9.6.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 10

Remplacez les valeurs connues.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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