Exemples

$\frac{5 i + 15}{2 i - 1}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i}$ par le conjugué de $- 1 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i} \cdot \frac{- 1 - 2 i}{- 1 - 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(5 i + 15) (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(5 i + 15) (- 1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 i (- 1 - 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5 i + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $5 i (- 2 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 5 i - 10 i i + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i^{1}) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 i - 10 i^{1 + 1} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 i - 10 i^{2} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 5 i - 10 \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 i + 10 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 i + 10 - 15 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $15$ .

$\frac{- 5 i + 10 - 15 - 30 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $30 i$ de $- 5 i$ .

$\frac{10 - 15 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $15$ de $10$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 (- 1 - 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{5}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $- 5 - 35 i$ et $5$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1 - 35 i}{5}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $- 35 i$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 (- 7 i)}{5}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 1) + 5 (- 7 i)$ .

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 (1)}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 \cdot 1}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 - 7 i}{1}$

Étape 3.4.4

Divisez $- 1 - 7 i$ par $1$ .

$- 1 - 7 i$

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