Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 8 & 6 \end{array}]$

Étape 1

L’inverse d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où

$a d - b c$ est le déterminant.

Étape 2

Déterminez le déterminant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 6 - 8 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$2$ par

$6$ .

$12 - 8 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- 8$ par

$4$ .

$12 - 32$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$32$ de

$12$ .

$- 20$

Étape 3

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 4

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 20} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 8 & 2 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{20} [\begin{array}{c} 6 & - 4 \\ - 8 & 2 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez

$- \frac{1}{20}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{20} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez

$2$ à partir de

$20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 6 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Factorisez

$2$ à partir de

$6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 3 & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.2

Associez

$\frac{- 1}{10}$ et

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & - \frac{1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 7.5.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{20} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.2

Factorisez

$4$ à partir de

$20$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 (5)} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.3

Factorisez

$4$ à partir de

$- 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.5.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- 1}{5} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.6

Associez

$\frac{- 1}{5}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{- - 1}{5} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.7

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 7.8.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{20} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.2

Factorisez

$4$ à partir de

$20$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 (5)} \cdot - 8 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.3

Factorisez

$4$ à partir de

$- 8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 2) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot (4 \cdot - 2) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.8.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{5} \cdot - 2 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.9

Associez

$\frac{- 1}{5}$ et

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{- - 2}{5} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.10

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.11

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 7.11.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{20} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.11.2

Factorisez

$2$ à partir de

$20$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.11.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot 2 \end{array}]$

Étape 7.11.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{- 1}{10} \end{array}]$

Étape 7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & - \frac{1}{10} \end{array}]$

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