Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 2 + 1 & 4 + 2 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément.

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Étape 2.1

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 4 + 2 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

Étape 2.2

Additionnez

$4$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 6 + 3 & 8 + 4 \end{array}]$

Étape 2.3

Additionnez

$6$ et

$3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 8 + 4 \end{array}]$

Étape 2.4

Additionnez

$8$ et

$4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{array}]$

Étape 3

L’inverse d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ où

$a d - b c$ est le déterminant.

Étape 4

Déterminez le déterminant.

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 12 - 9 \cdot 6$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$12$ .

$36 - 9 \cdot 6$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

$- 9$ par

$6$ .

$36 - 54$

Étape 4.2.2

Soustrayez

$54$ de

$36$ .

$- 18$

Étape 5

Comme le déterminant est non nul, l’inverse existe.

Étape 6

Remplacez l’inverse dans la formule par les valeurs connues.

$\frac{1}{- 18} [\begin{array}{c} 12 & - 6 \\ - 9 & 3 \end{array}]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{18} [\begin{array}{c} 12 & - 6 \\ - 9 & 3 \end{array}]$

Étape 8

Multipliez

$- \frac{1}{18}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{18} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de

$6$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{18}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{18} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.1.2

Factorisez

$6$ à partir de

$18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 (3)} \cdot 12 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.1.3

Factorisez

$6$ à partir de

$12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot 2) & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot 2) & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.2

Associez

$\frac{- 1}{3}$ et

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & - \frac{1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de

$6$ .

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Étape 9.5.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{18}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{18} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.5.2

Factorisez

$6$ à partir de

$18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 (3)} \cdot - 6 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.5.3

Factorisez

$6$ à partir de

$- 6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.5.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{6 \cdot 3} \cdot (6 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.5.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.6

Associez

$\frac{- 1}{3}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{- - 1}{3} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.7

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.8

Annulez le facteur commun de

$9$ .

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Étape 9.8.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{18}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{18} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.8.2

Factorisez

$9$ à partir de

$18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 (2)} \cdot - 9 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.8.3

Factorisez

$9$ à partir de

$- 9$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.8.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{9 \cdot 2} \cdot (9 \cdot - 1) & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.8.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.9

Associez

$\frac{- 1}{2}$ et

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{- - 1}{2} & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.10

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.11

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 9.11.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{1}{18}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{18} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.11.2

Factorisez

$3$ à partir de

$18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{3 (6)} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.11.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{3 \cdot 6} \cdot 3 \end{array}]$

Étape 9.11.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & \frac{- 1}{6} \end{array}]$

Étape 9.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{6} \end{array}]$

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