Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 3 & 2 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Écrivez comme une matrice augmentée pour

A x = 0

$A x = 0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 3 & 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

- 1

$- 1$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Multipliez chaque élément de

R_{1}

$R_{1}$ par

- 1

$- 1$ pour faire de l’entrée sur

1, 1

$1, 1$ un

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 2 & - 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 2 & - 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 3 & - 2 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 1$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 3 & 0 + 2 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Multipliez chaque élément de

$R_{2}$ par

$\frac{1}{4}$ pour faire de l’entrée sur

$2, 2$ un

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{2}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 2.5

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$3, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.6

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Réalisez l’opération de ligne

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

$1, 2$ un

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 2 + 3 (\frac{1}{2}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x - \frac{1}{2} z = 0$

$y + \frac{1}{2} z = 0$

$0 = 0$

Étape 4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} \\ - \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Étape 5

Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Étape 6

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 7

La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

Base de

$Nul (A)$ :

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Dimension de

$Nul (A)$ :

$1$

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