Exemples
S([abc])=[2a-6b+6ca+2b+c2a+b+2c]S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣2a−6b+6ca+2b+c2a+b+2c⎤⎥⎦
Étape 1
Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).
[2a-6b+6ca+2b+c2a+b+2c]=0⎡⎢⎣2a−6b+6ca+2b+c2a+b+2c⎤⎥⎦=0
Étape 2
Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.
2a-6b+6c=02a−6b+6c=0
a+2b+c=0a+2b+c=0
2a+b+2c=02a+b+2c=0
Étape 3
Écrivez le système comme une matrice.
[2-66012102120]⎡⎢
⎢⎣2−66012102120⎤⎥
⎥⎦
Étape 4
Étape 4.1
Multipliez chaque élément de R1R1 par 1212 pour faire de l’entrée sur 1,11,1 un 11.
Étape 4.1.1
Multipliez chaque élément de R1R1 par 1212 pour faire de l’entrée sur 1,11,1 un 11.
[22-62620212102120]⎡⎢
⎢
⎢⎣22−62620212102120⎤⎥
⎥
⎥⎦
Étape 4.1.2
Simplifiez R1R1.
[1-33012102120]⎡⎢
⎢⎣1−33012102120⎤⎥
⎥⎦
[1-33012102120]⎡⎢
⎢⎣1−33012102120⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.2
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-R1R2=R2−R1 pour faire de l’entrée sur 2,12,1 un 00.
Étape 4.2.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2-R1R2=R2−R1 pour faire de l’entrée sur 2,12,1 un 00.
[1-3301-12+31-30-02120]⎡⎢
⎢⎣1−3301−12+31−30−02120⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.2.2
Simplifiez R2R2.
[1-33005-202120]⎡⎢
⎢⎣1−33005−202120⎤⎥
⎥⎦
[1-33005-202120]⎡⎢
⎢⎣1−33005−202120⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.3
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-2R1R3=R3−2R1 pour faire de l’entrée sur 3,13,1 un 00.
Étape 4.3.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-2R1R3=R3−2R1 pour faire de l’entrée sur 3,13,1 un 00.
[1-33005-202-2⋅11-2⋅-32-2⋅30-2⋅0]⎡⎢
⎢⎣1−33005−202−2⋅11−2⋅−32−2⋅30−2⋅0⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.3.2
Simplifiez R3R3.
[1-33005-2007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33005−2007−40⎤⎥
⎥⎦
[1-33005-2007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33005−2007−40⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.4
Multipliez chaque élément de R2R2 par 1515 pour faire de l’entrée sur 2,22,2 un 11.
Étape 4.4.1
Multipliez chaque élément de R2R2 par 1515 pour faire de l’entrée sur 2,22,2 un 11.
[1-3300555-250507-40]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−3300555−250507−40⎤⎥
⎥
⎥⎦
Étape 4.4.2
Simplifiez R2R2.
[1-33001-25007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33001−25007−40⎤⎥
⎥⎦
[1-33001-25007-40]⎡⎢
⎢⎣1−33001−25007−40⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.5
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-7R2R3=R3−7R2 pour faire de l’entrée sur 3,23,2 un 00.
Étape 4.5.1
Réalisez l’opération de ligne R3=R3-7R2R3=R3−7R2 pour faire de l’entrée sur 3,23,2 un 00.
[1-33001-2500-7⋅07-7⋅1-4-7(-25)0-7⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−33001−2500−7⋅07−7⋅1−4−7(−25)0−7⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Étape 4.5.2
Simplifiez R3R3.
[1-33001-25000-650]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−33001−25000−650⎤⎥
⎥
⎥⎦
[1-33001-25000-650]⎡⎢
⎢
⎢⎣1−33001−25000−650⎤⎥
⎥
⎥⎦
Étape 4.6
Multipliez chaque élément de R3R3 par -56−56 pour faire de l’entrée sur 3,33,3 un 11.
Étape 4.6.1
Multipliez chaque élément de R3R3 par -56−56 pour faire de l’entrée sur 3,33,3 un 11.
[1-33001-250-56⋅0-56⋅0-56(-65)-56⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−33001−250−56⋅0−56⋅0−56(−65)−56⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Étape 4.6.2
Simplifiez R3R3.
[1-33001-2500010]⎡⎢
⎢⎣1−33001−2500010⎤⎥
⎥⎦
[1-33001-2500010]⎡⎢
⎢⎣1−33001−2500010⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.7
Réalisez l’opération de ligne R2=R2+25R3R2=R2+25R3 pour faire de l’entrée sur 2,32,3 un 00.
Étape 4.7.1
Réalisez l’opération de ligne R2=R2+25R3R2=R2+25R3 pour faire de l’entrée sur 2,32,3 un 00.
[1-3300+25⋅01+25⋅0-25+25⋅10+25⋅00010]⎡⎢
⎢⎣1−3300+25⋅01+25⋅0−25+25⋅10+25⋅00010⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.7.2
Simplifiez R2R2.
[1-33001000010]⎡⎢
⎢⎣1−33001000010⎤⎥
⎥⎦
[1-33001000010]⎡⎢
⎢⎣1−33001000010⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.8
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-3R3R1=R1−3R3 pour faire de l’entrée sur 1,31,3 un 00.
Étape 4.8.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1-3R3R1=R1−3R3 pour faire de l’entrée sur 1,31,3 un 00.
[1-3⋅0-3-3⋅03-3⋅10-3⋅001000010]⎡⎢
⎢⎣1−3⋅0−3−3⋅03−3⋅10−3⋅001000010⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.8.2
Simplifiez R1R1.
[1-30001000010]⎡⎢
⎢⎣1−30001000010⎤⎥
⎥⎦
[1-30001000010]⎡⎢
⎢⎣1−30001000010⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.9
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+3R2R1=R1+3R2 pour faire de l’entrée sur 1,21,2 un 00.
Étape 4.9.1
Réalisez l’opération de ligne R1=R1+3R2R1=R1+3R2 pour faire de l’entrée sur 1,21,2 un 00.
[1+3⋅0-3+3⋅10+3⋅00+3⋅001000010]⎡⎢
⎢⎣1+3⋅0−3+3⋅10+3⋅00+3⋅001000010⎤⎥
⎥⎦
Étape 4.9.2
Simplifiez R1R1.
[100001000010]⎡⎢
⎢⎣100001000010⎤⎥
⎥⎦
[100001000010]⎡⎢
⎢⎣100001000010⎤⎥
⎥⎦
[100001000010]⎡⎢
⎢⎣100001000010⎤⎥
⎥⎦
Étape 5
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
a=0a=0
b=0b=0
c=0c=0
Étape 6
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
[abc]=[000]⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦
Étape 7
Écrivez comme un ensemble de solutions.
{[000]}⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣000⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭
Étape 8
Le noyau de SS est le sous-espace {[000]}.
K(S)={[000]}
