Exemples

f (x) = x^{3} - 1

$f (x) = x^{3} - 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez

y

$y$ par

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

0 = x^{3} - 1

$0 = x^{3} - 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme

x^{3} - 1 = 0

$x^{3} - 1 = 0$ .

x^{3} - 1 = 0

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

x^{3} = 1

$x^{3} = 1$

Étape 1.2.3

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

x^{3} - 1 = 0

$x^{3} - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{3}

$1^{3}$ .

x^{3} - 1^{3} = 0

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 1.2.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où

a = x

$a = x$ et

b = 1

$b = 1$ .

(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez

x

$x$ par

1

$1$ .

(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Étape 1.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

x^{2} + x + 1 = 0

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 1.2.6

Définissez

x - 1

$x - 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez

x - 1

$x - 1$ égal à

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

Étape 1.2.7

Définissez

x^{2} + x + 1

$x^{2} + x + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez

x^{2} + x + 1

$x^{2} + x + 1$ égal à

0

$0$ .

x^{2} + x + 1 = 0

$x^{2} + x + 1 = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez

x^{2} + x + 1 = 0

$x^{2} + x + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 1.2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.7.2.2

Remplacez les valeurs

a = 1

$a = 1$ ,

b = 1

$b = 1$ et

c = 1

$c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour

x

$x$ .

\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.3.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.3

Soustrayez

4

$4$ de

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.4

Réécrivez

- 3

$- 3$ comme

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.5

Réécrivez

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ comme

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.6

Réécrivez

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ comme

i

$i$ .

x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.2

Multipliez

2

$2$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

+

$+$ du

\pm

$\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2

Multipliez

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1.2.1

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.3

Soustrayez

4

$4$ de

1

$1$ .

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.4

Réécrivez

$- 3$ comme

$- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.5

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (3)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.6

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.3

Remplacez le

$\pm$ par

$+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.4

Réécrivez

$- 1$ comme

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.5

Factorisez

$- 1$ à partir de

$i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.6

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie

$-$ du

$\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.3

Soustrayez

$4$ de

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.4

Réécrivez

$- 3$ comme

$- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.5

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (3)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.6

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.2

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.3

Remplacez le

$\pm$ par

$-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.4

Réécrivez

$- 1$ comme

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.5

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.6

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine :

$(1, 0)$

abscisse(s) à l’origine :

$(1, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez

$x$ par

$0$ et résolvez

$y$ .

$y = {(0)}^{3} - 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - 1$

Étape 2.2.3

Simplifiez

${(0)}^{3} - 1$ .

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$y = 0 - 1$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez

$1$ de

$0$ .

$y = - 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine :

$(0, - 1)$

ordonnée(s) à l’origine :

$(0, - 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine :

$(1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine :

$(0, - 1)$

Étape 4

Saisissez VOTRE problème