Exemples

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Étape 1

Écrivez

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ comme une équation.

y = x^{2} - 2 x - 8

$y = x^{2} - 2 x - 8$

Étape 2

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Complétez le carré pour

x^{2} - 2 x - 8

$x^{2} - 2 x - 8$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 2

$b = - 2$

c = - 8

$c = - 8$

Étape 2.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun à

- 2

$- 2$ et

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 2

$- 2$ .

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

d = \frac{- 1}{1}

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 2.1.3.2.2.4

Divisez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

d = - 1

$d = - 1$

Étape 2.1.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.2.1.1

Élevez

- 2

$- 2$ à la puissance

2

$2$ .

e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}

$e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.1.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = - 8 - \frac{4}{4}

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Étape 2.1.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

e = - 8 - \frac{4}{4}

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Étape 2.1.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

e = - 8 - 1 \cdot 1

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

e = - 8 - 1 \cdot 1

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

Étape 2.1.4.2.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

1

$1$ .

e = - 8 - 1

$e = - 8 - 1$

e = - 8 - 1

$e = - 8 - 1$

Étape 2.1.4.2.2

Soustrayez

1

$1$ de

- 8

$- 8$ .

e = - 9

$e = - 9$

e = - 9

$e = - 9$

e = - 9

$e = - 9$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(x - 1)}^{2} - 9

${(x - 1)}^{2} - 9$ .

{(x - 1)}^{2} - 9

${(x - 1)}^{2} - 9$

{(x - 1)}^{2} - 9

${(x - 1)}^{2} - 9$

Étape 2.2

Définissez

y

$y$ égal au nouveau côté droit.

y = {(x - 1)}^{2} - 9

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

y = {(x - 1)}^{2} - 9

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

Étape 3

Utilisez la forme du sommet,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

h

$h$ et

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 1

$h = 1$

k = - 9

$k = - 9$

Étape 4

Comme la valeur de

a

$a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 5

Déterminez le sommet

(h, k)

$(h, k)$ .

(1, - 9)

$(1, - 9)$

Étape 6

Déterminez

p

$p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 6.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Étape 6.2

Remplacez la valeur de

a

$a$ dans la fonction.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Étape 7

Déterminez le foyer.

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Étape 7.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant

p

$p$ à la coordonnée y

k

$k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

p

$p$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(1, - \frac{35}{4})

$(1, - \frac{35}{4})$

(1, - \frac{35}{4})

$(1, - \frac{35}{4})$

Étape 8

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

x = 1

$x = 1$

Étape 9

Déterminez la directrice.

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Étape 9.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant

p

$p$ de la coordonnée y

k

$k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

y = k - p

$y = k - p$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs connues de

p

$p$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

y = - \frac{37}{4}

$y = - \frac{37}{4}$

y = - \frac{37}{4}

$y = - \frac{37}{4}$

Étape 10

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet :

(1, - 9)

$(1, - 9)$

Foyer :

(1, - \frac{35}{4})

$(1, - \frac{35}{4})$

Axe de symétrie :

x = 1

$x = 1$

Directrice :

y = - \frac{37}{4}

$y = - \frac{37}{4}$

Étape 11

Saisissez VOTRE problème