Exemples

$(2, 3)$ , $(- 1, - 5)$

Étape 1

L’équation générale d’une parabole avec sommet $(h, k)$ est $y = a {(x - h)}^{2} + k$ . Dans ce cas nous avons $(2, 3)$ comme sommet $(h, k)$ et $(- 1, - 5)$ est un point $(x, y)$ sur la parabole. Pour déterminer $a$ , remplacez les deux points dans $y = a {(x - h)}^{2} + k$ .

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

Étape 2

Utilisation de $- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ pour résoudre $a$ , $a = - \frac{8}{9}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ .

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

Étape 2.2.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

Étape 2.2.4

Déplacez $9$ à gauche de $a$ .

$9 a + 3 = - 5$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$9 a = - 5 - 3$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$9 a = - 8$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $9 a = - 8$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $9 a = - 8$ par $9$ .

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- 8}{9}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{8}{9}$

Étape 3

Avec $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , l’équation générale de la parabole avec le sommet $(2, 3)$ et $a = - \frac{8}{9}$ est $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Étape 4

Résolvez $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ pour $y$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Étape 4.2

Multipliez $- \frac{8}{9}$ par ${(x - (2))}^{2}$ .

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

Étape 4.3

Supprimez les parenthèses.

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Étape 4.4

Simplifiez $(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ .

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

Étape 4.4.1.3

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

Étape 4.4.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

Étape 4.4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Étape 4.4.1.4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

Étape 4.4.1.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

Étape 4.4.1.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

Étape 4.4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Étape 4.4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.4.1.6.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Étape 4.4.1.6.2

Multipliez $- \frac{8}{9} (- 4 x)$ .

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Étape 4.4.1.6.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Étape 4.4.1.6.2.2

Associez $4$ et $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Étape 4.4.1.6.2.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Étape 4.4.1.6.2.4

Associez $\frac{32}{9}$ et $x$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

Étape 4.4.1.6.3

Multipliez $- \frac{8}{9} \cdot 4$ .

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Étape 4.4.1.6.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

Étape 4.4.1.6.3.2

Associez $- 4$ et $\frac{8}{9}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

Étape 4.4.1.6.3.3

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Étape 4.4.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.7.1

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

Étape 4.4.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

Étape 4.4.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

Étape 4.4.3

Associez $3$ et $\frac{9}{9}$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Étape 4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

Étape 4.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.5.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

Étape 4.4.5.2

Additionnez $- 32$ et $27$ .

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

Étape 4.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

Étape 5

La forme normalisée et le sommet sont les suivants.

Forme normalisée : $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Forme du sommet : $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

Étape 6

Simplifiez la forme normalisée.

Forme normalisée : $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

Forme du sommet : $y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

Étape 7

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