Exemples

S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

Étape 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0

$[\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}] = 0$

Étape 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

a - b - c = 0

$a - b - c = 0$

a - b + c = 0

$a - b + c = 0$

a + b + 5 c = 0

$a + b + 5 c = 0$

Étape 3

Écrivez le système comme une matrice.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

2, 1

$2, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 1 + 1 & 0 - 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 4.2

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ pour faire de l’entrée sur

3, 1

$3, 1$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & 1 + 1 & 5 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Inversez

R_{3}

$R_{3}$ avec

R_{2}

$R_{2}$ pour placer une entrée non nulle sur

2, 2

$2, 2$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.4

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez chaque élément de

R_{2}

$R_{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

2, 2

$2, 2$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.4.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Étape 4.5

Multipliez chaque élément de

R_{3}

$R_{3}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez chaque élément de

R_{3}

$R_{3}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ pour faire de l’entrée sur

3, 3

$3, 3$ un

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Étape 4.5.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.6

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

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Étape 4.6.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

2, 3

$2, 3$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.6.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.7

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} + R_{3}

$R_{1} = R_{1} + R_{3}$ pour faire de l’entrée sur

1, 3

$1, 3$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.7.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.8

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.1

Réalisez l’opération de ligne

R_{1} = R_{1} + R_{2}

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ pour faire de l’entrée sur

1, 2

$1, 2$ un

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.8.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

a = 0

$a = 0$

b = 0

$b = 0$

c = 0

$c = 0$

Étape 6

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 7

Écrivez comme un ensemble de solutions.

{[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Étape 8

Le noyau de

S

$S$ est le sous-espace

{[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Saisissez VOTRE problème