Exemples

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Étape 2.3

Simplifiez $- \frac{- 5}{2 (5)}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $2 \cdot 5$ .

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.3

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 3

Évaluez $f (\frac{1}{2})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.4

Associez $5$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 3.2.1.5

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

Étape 3.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Étape 3.2.4.3

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Étape 3.2.5

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Étape 5

Saisissez VOTRE problème