Exemples

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur

$x = - \frac{b}{2 a}$ . Si

$a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$

$x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur

$x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de

$a$ et

$b$ .

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Étape 2.3

Multipliez

$2$ par

$5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Étape 3

Évaluez

$f (- \frac{3}{10})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable

$x$ par

$- \frac{3}{10}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à

$- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à

$\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.2

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.3

Multipliez

$\frac{3^{2}}{10^{2}}$ par

$1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.4

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.5

Élevez

$10$ à la puissance

$2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de

$5$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez

$5$ à partir de

$100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.7

Multipliez

$3 (- \frac{3}{10})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Étape 3.2.1.7.2

Associez

$- 3$ et

$\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Étape 3.2.1.7.3

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez

$\frac{9}{10}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Étape 3.2.2.2

Multipliez

$\frac{9}{10}$ par

$\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Étape 3.2.2.3

Écrivez

$- 7$ comme une fraction avec le dénominateur

$1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez

$\frac{- 7}{1}$ par

$\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez

$\frac{- 7}{1}$ par

$\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de

$10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez

$2$ par

$10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez

$- 9$ par

$2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez

$- 7$ par

$20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez

$18$ de

$9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez

$140$ de

$- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est

$- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Étape 4

Utilisez les valeurs

$x$ et

$y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Étape 5

Saisissez VOTRE problème