Exemples

$(2, 6, - 8)$ , $(- 12, - 2, - 1)$ , $(- 2, 8, 9)$ , $(3, 0, 0)$

Étape 1

Avec les points $C = (- 2, 8, 9)$ et $D = (3, 0, 0)$ , déterminez un plan contenant les points $A = (2, 6, - 8)$ et $B = (- 12, - 2, - 1)$ qui est parallèle à la droite $CD$ .

$A = (2, 6, - 8)$

$B = (- 12, - 2, - 1)$

$C = (- 2, 8, 9)$

$D = (3, 0, 0)$

Étape 2

Commencez par calculer le vecteur directeur de la droite qui passe par les points $C$ et $D$ . Vous pouvez pour cela prendre les valeurs des coordonnées du point $C$ et les soustraire de celles du point $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Étape 3

Remplacez les valeurs $x$ , $y$ et $z$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur $V_{CD}$ pour la droite $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Étape 4

Calculez le vecteur directeur d’une droite passant par des points $A$ et $B$ en utilisant la même méthode.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Étape 5

Remplacez les valeurs $x$ , $y$ et $z$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur $V_{AB}$ pour la droite $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Étape 6

Le plan solution contiendra une droite contenant des points $A$ et $B$ et avec le vecteur directeur $V_{A B}$ . Pour que ce plan soit parallèle à la droite $C D$ , déterminez le vecteur normal du plan qui est aussi orthogonal au vecteur directeur de la droite $C D$ . Calculez le vecteur normal en trouvant le produit en croix $V_{A B}$ x $V_{C D}$ en trouvant le déterminant de la matrice $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Étape 7

Calculez le déterminant.

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Étape 7.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 7.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 7.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Étape 7.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Étape 7.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Étape 7.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Étape 7.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Étape 7.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.2

Évaluez $| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

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Étape 7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $- 8$ par $- 9$ .

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- (- 8 \cdot 7)$ .

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Étape 7.2.2.1.2.1

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 56$ .

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $72$ et $56$ .

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

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Étape 7.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1.1

Multipliez $- 14$ par $- 9$ .

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.2

Soustrayez $35$ de $126$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Étape 7.4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

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Étape 7.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Étape 7.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.2.1.1

Multipliez $- 14$ par $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $112$ et $40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Déplacez $128$ à gauche de $i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Étape 7.5.2

Multipliez $- 1$ par $91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Étape 8

Résolvez l’expression $(128) x + (- 91) y + (152) z$ sur le point $A$ car il est dans le plan. Cela permet de calculer la constante dans l’équation pour le plan.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $128$ par $2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 91$ par $6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Étape 8.1.3

Multipliez $152$ par $- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Étape 8.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $546$ de $256$ .

$- 290 - 1216$

Étape 8.2.2

Soustrayez $1216$ de $- 290$ .

$- 1506$

Étape 9

Ajoutez la constante pour déterminer l’équation du plan pour obtenir $(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ .

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Étape 10

Multipliez $152$ par $z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

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