Trigonométrie Exemples

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 1.5

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) - 1)$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \sin^{2} (x) ({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$- \sin^{2} (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Étape 4

Multipliez $- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

Étape 5

Multipliez $- \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \sin^{2} (x)$

Étape 5.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2} + \sin^{2} (x)$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ et $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (x)$ et $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.1.2

Séparez les fractions.

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.1.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.1.4

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 8.2.2

Séparez les fractions.

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Étape 8.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

Étape 8.2.4

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Étape 9

Développez $(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Associez les termes opposés dans $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ .

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Étape 10.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sin (x) (- \sin (x) \tan (x))$ et $\sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.1.2

Additionnez $- \sin (x) \sin (x) \tan (x)$ et $\sin (x) \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.1.3

Additionnez $\sin (x) \sin (x)$ et $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 10.2.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.2.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

Étape 10.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

Étape 10.2.3

Multipliez $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ .

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Étape 10.2.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

Étape 10.2.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

Étape 10.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

Étape 10.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

Étape 10.2.4

Multipliez $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 10.2.4.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Étape 10.2.4.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Étape 10.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

Étape 10.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

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