Trigonométrie Exemples

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Étape 1

Attribuez un nom pour chaque vecteur.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Étape 2

Le premier vecteur orthogonal est le premier vecteur dans l’ensemble de vecteurs indiqué.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Étape 3

Utilisez la formule pour déterminer les autres vecteurs orthogonaux.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Étape 4

Déterminez le vecteur orthogonal ${v⃗}_{2}$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule pour déterminer ${v⃗}_{2}$ .

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Étape 4.2

Remplacez ${u⃗}_{2}$ par $(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Étape 4.3

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Étape 4.3.1

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 4.3.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Étape 4.3.1.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Étape 4.3.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Étape 4.3.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 4.3.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 4.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Étape 4.3.2.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Étape 4.3.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{2}$ sur ${v⃗}_{1}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.4

Remplacez ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ par $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.5

Remplacez $| | {v⃗}_{1} | |$ par $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 4.3.6

Remplacez ${v⃗}_{1}$ par $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.7.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.1.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.3.7.3.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 4.3.7.3.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 4.4

Remplacez la projection.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.2

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Étape 4.5.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 4.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Étape 4.5.8

Soustrayez $2$ de $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5

Déterminez le vecteur orthogonal ${v⃗}_{3}$ .

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Étape 5.1

Utilisez la formule pour déterminer ${v⃗}_{3}$ .

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Étape 5.2

Remplacez ${u⃗}_{3}$ par $(0, 0, 1)$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Étape 5.3

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

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Étape 5.3.1

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 5.3.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Étape 5.3.1.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Étape 5.3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Étape 5.3.1.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Étape 5.3.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 5.3.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 5.3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 5.3.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 5.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Étape 5.3.2.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Étape 5.3.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{3}$ sur ${v⃗}_{1}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 5.3.4

Remplacez ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 5.3.5

Remplacez $| | {v⃗}_{1} | |$ par $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Étape 5.3.6

Remplacez ${v⃗}_{1}$ par $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.7.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.1.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Étape 5.3.7.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 5.3.7.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 5.3.7.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 5.3.7.3.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4

Déterminez ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

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Étape 5.4.1

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 5.4.1.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.2.1.1

Multipliez $0 (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 5.4.1.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2.1.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Étape 5.4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Étape 5.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Étape 5.4.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Étape 5.4.2

Déterminez la norme de ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.4.2.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez

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Étape 5.4.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.4.2.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 5.4.2.2.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.13

Additionnez $4$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Étape 5.4.2.2.15

Additionnez $5$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Étape 5.4.2.2.16

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.16.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Étape 5.4.2.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.4.2.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 5.4.2.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.2.2.17

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.18

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.19

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.2.2.19.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.19.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.4.2.2.19.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.4.2.2.19.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.4.2.2.19.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.19.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.19.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.19.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.4.2.2.19.6.5

Évaluez l’exposant.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.4.2.2.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.2.2.20.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 5.4.2.2.20.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 5.4.3

Déterminez la projection de ${u⃗}_{3}$ sur ${v⃗}_{2}$ à l’aide de la formule de projection.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Étape 5.4.4

Remplacez ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Étape 5.4.5

Remplacez $| | {v⃗}_{2} | |$ par $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Étape 5.4.6

Remplacez ${v⃗}_{2}$ par $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.7.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 5.4.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 5.4.7.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.7.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.7.3.1

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.3.2

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 5.4.7.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.7.5.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.1.3

Annulez le facteur commun.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.1.4

Réécrivez l’expression.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.4.7.5.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 5.4.7.5.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.4.7.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Étape 5.4.7.5.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Étape 5.5

Remplacez les projections.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Étape 5.6.2

Associez chaque composant des vecteurs.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.3

Multipliez $- (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 5.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.4

Associez les fractions.

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Étape 5.6.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.4.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.4.2.2

Divisez $0$ par $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.5

Multipliez $- 1$ par $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.6

Soustrayez $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.7

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.6.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.9.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 5.6.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.6.12.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.6

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.12.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Étape 5.6.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Étape 5.6.14

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.6.14.1

Soustrayez $2$ de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Étape 5.6.14.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Étape 5.6.15

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 5.6.15.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Étape 5.6.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Étape 5.6.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Étape 5.6.15.2.3

Réécrivez l’expression.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Étape 6

Déterminez la base orthonormale en divisant chaque vecteur orthogonal par sa norme.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Étape 7

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ où ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Étape 7.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 7.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Étape 7.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Étape 7.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Étape 7.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Étape 7.3.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 7.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Étape 7.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Étape 8

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ où ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Étape 8.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 8.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.3

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Étape 8.3.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Étape 8.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 8.3.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 8.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 8.3.13

Additionnez $4$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 8.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Étape 8.3.15

Additionnez $5$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Étape 8.3.16

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 8.3.16.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Étape 8.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 8.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Étape 8.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Étape 8.3.17

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Étape 8.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.4

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Étape 8.6.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Étape 8.6.8

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Étape 9

Déterminez le vecteur unitaire $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ où ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Étape 9.1

Pour déterminer un vecteur unitaire dans la même direction qu’un vecteur $v⃗$ , divisez par la norme de $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Étape 9.2

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.4

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 9.3.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 9.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 9.3.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 9.3.10

Additionnez $0$ et $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 9.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Étape 9.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Étape 9.3.13

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 9.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 9.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 9.3.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.15

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 9.4

Divisez le vecteur par sa norme.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 9.5

Divisez chaque élément du vecteur par $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6

Simplifiez

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Étape 9.6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.4

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Étape 9.6.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Étape 9.6.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 10

Remplacez les valeurs connues.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

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