Trigonométrie Exemples

4 {sin}^{2} (x) - 1 = 0

$4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

4 {sin}^{2} (x) = 1

$4 \sin^{2} (x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans

4 {sin}^{2} (x) = 1

$4 \sin^{2} (x) = 1$ par

4

$4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans

4 {sin}^{2} (x) = 1

$4 \sin^{2} (x) = 1$ par

4

$4$ .

\frac{4 {sin}^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de

4

$4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez

$\sin^{2} (x)$ par

$1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 4

Simplifiez

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour

$x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Résolvez

$x$ dans

$\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de

$\arcsin (\frac{1}{2})$ est

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 7.4

Simplifiez

$π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 7.4.1

Pour écrire

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.4.2.1

Associez

$π$ et

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.3.1

Déplacez

$6$ à gauche de

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.4.3.2

Soustrayez

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.5

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 7.6

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 8

Résolvez

$x$ dans

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ est

$- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de

$2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à

$π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Soustrayez

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de

$\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à

$2 π$ et coterminal avec

$2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 8.5

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 8.6

Ajoutez

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez

$2 π$ à

$- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 8.6.2

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 8.6.3

Associez les fractions.

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Étape 8.6.3.1

Associez

$2 π$ et

$\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 8.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.4.1

Multipliez

$6$ par

$2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 8.6.4.2

Soustrayez

$π$ de

$12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 8.7

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez

$\frac{π}{6} + 2 π n$ et

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ en

$\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 10.2

Consolidez

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ et

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ en

$\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier

$n$

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