Trigonométrie Exemples

\cos (75)

$\cos (75)$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas,

75

$75$ peut être divisé en

30 + 45

$30 + 45$ .

\cos (30 + 45)

$\cos (30 + 45)$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))

$\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

\cos (45) \cdot \cos (30) - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\cos (45) \cdot \cos (30) - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

\cos (45) \cdot \cos (30) - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\cos (45) \cdot \cos (30) - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

La valeur exacte de

\cos (45)

$\cos (45)$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (30) - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4.2

La valeur exacte de

\cos (30)

$\cos (30)$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4.3

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4.3.3

Multipliez

2

$2$ par

3

$3$ .

\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4.3.4

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (45) \cdot \sin (30)$

\frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (45) \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \sin (45) \cdot \sin (30)$

Étape 4.4

La valeur exacte de

\sin (45)

$\sin (45)$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (30)$

Étape 4.5

La valeur exacte de

\sin (30)

$\sin (30)$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.6

Multipliez

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ par

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

0.25881904 \dots

$0.25881904 \dots$

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