Trigonométrie Exemples

cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (x) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$ .

Opposé

$= - \sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

Opposé

$= - \sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

$3$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{3}$ comme

$3^{\frac{1}{2}}$ .

Opposé

$= - \sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opposé

$= - \sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

Opposé

$= - \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Opposé

$= - \sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Opposé

$= - \sqrt{4 - 3}$

Opposé

$= - \sqrt{4 - 3}$

Étape 4.3.5

Évaluez l’exposant.

Opposé

$= - \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Opposé

$= - \sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

Étape 4.4

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

Opposé

$= - \sqrt{4 - 3}$

Étape 4.5

Soustrayez

$3$ de

$4$ .

Opposé

$= - \sqrt{1}$

Étape 4.6

Toute racine de

$1$ est

$1$ .

Opposé

$= - 1 \cdot 1$

Étape 4.7

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

Opposé

$= - 1$

Opposé

$= - 1$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de

$\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de

$\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de

$\tan (x)$ .

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 6.3.2

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 6.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.3.3.2

Élevez

$\sqrt{3}$ à la puissance

$1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.3.3.3

Élevez

$\sqrt{3}$ à la puissance

$1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.3.3.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.3.3.6

Réécrivez

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

$3$ .

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Étape 6.3.3.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{3}$ comme

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.3.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 6.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de

$\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de

$\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$\cot (x) = - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 7.3.2

Réécrivez

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme

$- \sqrt{3}$ .

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de

$\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de

$\sec (x)$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ par

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.2

Élevez

$\sqrt{3}$ à la puissance

$1$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.3

Élevez

$\sqrt{3}$ à la puissance

$1$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.2.6

Réécrivez

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

$3$ .

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Étape 8.3.2.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{3}$ comme

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de

$\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{2}{- 1}$

Étape 9.3

Divisez

$2$ par

$- 1$ .

$\csc (x) = - 2$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - 2$

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