Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (x) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

Hypoténuse $= \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4.4.2

Réécrivez l’expression.

Hypoténuse $= \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4.5

Évaluez l’exposant.

Hypoténuse $= \sqrt{3 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{3 + 1}$

Étape 4.6

Additionnez $3$ et $1$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4}$

Étape 4.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Hypoténuse $= 2$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{- 1}{- \sqrt{3}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cot (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{2}{- 1}$

Étape 8.3

Divisez $2$ par $- 1$ .

$\sec (x) = - 2$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{2}{- \sqrt{3}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - 2$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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