Trigonométrie Exemples

\frac{- 4}{2 - 5 i}

$\frac{- 4}{2 - 5 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{- 4}{2 - 5 i}

$\frac{- 4}{2 - 5 i}$ par le conjugué de

2 - 5 i

$2 - 5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

\frac{- 4}{2 - 5 i} \cdot \frac{2 + 5 i}{2 + 5 i}

$\frac{- 4}{2 - 5 i} \cdot \frac{2 + 5 i}{2 + 5 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

\frac{- 4 (2 + 5 i)}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}

$\frac{- 4 (2 + 5 i)}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 4 \cdot 2 - 4 (5 i)}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}

$\frac{- 4 \cdot 2 - 4 (5 i)}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

2

$2$ .

\frac{- 8 - 4 (5 i)}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}

$\frac{- 8 - 4 (5 i)}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez

5

$5$ par

- 4

$- 4$ .

\frac{- 8 - 20 i}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}$

\frac{- 8 - 20 i}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{(2 - 5 i) (2 + 5 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez

(2 - 5 i) (2 + 5 i)

$(2 - 5 i) (2 + 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 8 - 20 i}{2 (2 + 5 i) - 5 i (2 + 5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{2 (2 + 5 i) - 5 i (2 + 5 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 8 - 20 i}{2 \cdot 2 + 2 (5 i) - 5 i (2 + 5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{2 \cdot 2 + 2 (5 i) - 5 i (2 + 5 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 8 - 20 i}{2 \cdot 2 + 2 (5 i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{2 \cdot 2 + 2 (5 i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}$

\frac{- 8 - 20 i}{2 \cdot 2 + 2 (5 i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{2 \cdot 2 + 2 (5 i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 2 (5 i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 2 (5 i) - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

5

$5$ par

2

$2$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 5 i \cdot 2 - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez

2

$2$ par

- 5

$- 5$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 5 i (5 i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez

5

$5$ par

- 5

$- 5$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 i i}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 (i^{1} i)}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 (i^{1} i^{1})}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 i^{1 + 1}}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 i^{2}}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 10 i - 10 i - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez

10 i

$10 i$ de

10 i

$10 i$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 0 - 25 i^{2}}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 0 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez

4

$4$ et

0

$0$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 - 25 i^{2}}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 - 25 i^{2}}$

\frac{- 8 - 20 i}{4 - 25 i^{2}}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 - 25 \cdot - 1}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 - 25 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

- 25

$- 25$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 25}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 25}$

\frac{- 8 - 20 i}{4 + 25}

$\frac{- 8 - 20 i}{4 + 25}$

Étape 2.3.4

Additionnez

4

$4$ et

25

$25$ .

\frac{- 8 - 20 i}{29}

$\frac{- 8 - 20 i}{29}$

\frac{- 8 - 20 i}{29}

$\frac{- 8 - 20 i}{29}$

\frac{- 8 - 20 i}{29}

$\frac{- 8 - 20 i}{29}$

Étape 3

Divisez la fraction

\frac{- 8 - 20 i}{29}

$\frac{- 8 - 20 i}{29}$ en deux fractions.

\frac{- 8}{29} + \frac{- 20 i}{29}

$\frac{- 8}{29} + \frac{- 20 i}{29}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{8}{29} + \frac{- 20 i}{29}

$- \frac{8}{29} + \frac{- 20 i}{29}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{8}{29} - \frac{20 i}{29}

$- \frac{8}{29} - \frac{20 i}{29}$

- \frac{8}{29} - \frac{20 i}{29}

$- \frac{8}{29} - \frac{20 i}{29}$

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