Trigonométrie Exemples

\frac{- 5}{3 + 2 i}

$\frac{- 5}{3 + 2 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{- 5}{3 + 2 i}

$\frac{- 5}{3 + 2 i}$ par le conjugué de

3 + 2 i

$3 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

\frac{- 5}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i}

$\frac{- 5}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

\frac{- 5 (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}

$\frac{- 5 (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 5 \cdot 3 - 5 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}

$\frac{- 5 \cdot 3 - 5 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez

- 5

$- 5$ par

3

$3$ .

\frac{- 15 - 5 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}

$\frac{- 15 - 5 (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez

- 2

$- 2$ par

- 5

$- 5$ .

\frac{- 15 + 10 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

\frac{- 15 + 10 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez

(3 + 2 i) (3 - 2 i)

$(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 15 + 10 i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 15 + 10 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{- 15 + 10 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

\frac{- 15 + 10 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez

3

$3$ par

3

$3$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

3

$3$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez

- 2

$- 2$ par

2

$2$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez

- 6 i

$- 6 i$ et

6 i

$6 i$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 + 0 - 4 i^{2}}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez

9

$9$ et

0

$0$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 4 i^{2}}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 4 i^{2}}$

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 4 i^{2}}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 4 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 - 4 \cdot - 1}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 - 4 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- 15 + 10 i}{9 + 4}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 + 4}$

\frac{- 15 + 10 i}{9 + 4}

$\frac{- 15 + 10 i}{9 + 4}$

Étape 2.3.4

Additionnez

9

$9$ et

4

$4$ .

\frac{- 15 + 10 i}{13}

$\frac{- 15 + 10 i}{13}$

\frac{- 15 + 10 i}{13}

$\frac{- 15 + 10 i}{13}$

\frac{- 15 + 10 i}{13}

$\frac{- 15 + 10 i}{13}$

Étape 3

Divisez la fraction

\frac{- 15 + 10 i}{13}

$\frac{- 15 + 10 i}{13}$ en deux fractions.

\frac{- 15}{13} + \frac{10 i}{13}

$\frac{- 15}{13} + \frac{10 i}{13}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

- \frac{15}{13} + \frac{10 i}{13}

$- \frac{15}{13} + \frac{10 i}{13}$

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