Trigonométrie Exemples

$\frac{8}{3 + 7 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{8}{3 + 7 i}$ par le conjugué de $3 + 7 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{8}{3 + 7 i} \cdot \frac{3 - 7 i}{3 - 7 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{8 (3 - 7 i)}{(3 + 7 i) (3 - 7 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 \cdot 3 + 8 (- 7 i)}{(3 + 7 i) (3 - 7 i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 + 8 (- 7 i)}{(3 + 7 i) (3 - 7 i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$\frac{24 - 56 i}{(3 + 7 i) (3 - 7 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(3 + 7 i) (3 - 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 - 56 i}{3 (3 - 7 i) + 7 i (3 - 7 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 - 56 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 7 i) + 7 i (3 - 7 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{24 - 56 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 7 i) + 7 i \cdot 3 + 7 i (- 7 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 + 3 (- 7 i) + 7 i \cdot 3 + 7 i (- 7 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 7 i \cdot 3 + 7 i (- 7 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 21 i + 7 i (- 7 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 21 i - 49 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 21 i - 49 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 21 i - 49 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 21 i - 49 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 21 i + 21 i - 49 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 21 i$ et $21 i$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 + 0 - 49 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 49 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 - 49 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 49$ par $- 1$ .

$\frac{24 - 56 i}{9 + 49}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $49$ .

$\frac{24 - 56 i}{58}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $24 - 56 i$ et $58$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{2 (12) - 56 i}{58}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 56 i$ .

$\frac{2 (12) + 2 (- 28 i)}{58}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (12) + 2 (- 28 i)$ .

$\frac{2 (12 - 28 i)}{58}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$\frac{2 (12 - 28 i)}{2 \cdot 29}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (12 - 28 i)}{2 \cdot 29}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 - 28 i}{29}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{12 - 28 i}{29}$ en deux fractions.

$\frac{12}{29} + \frac{- 28 i}{29}$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{12}{29} - \frac{28 i}{29}$

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