Trigonométrie Exemples

${(z - 3)}^{4} = 2 i$

Étape 1

Remplacez $z - 3$ par $u$ .

$u^{4} = 2 i$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 2$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Étape 7

Comme l’argument est indéfini et $b$ est positif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{2}$ et $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 9

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$u^{4} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 10

Utilisez le théorème de De Moivre pour déterminer une équation pour $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 11

Associez le module de la forme trigonométrique à $r^{4}$ pour déterminer la valeur de $r$ .

$r^{4} = 2$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $r$ .

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Étape 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{2}$

Étape 12.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = \sqrt[4]{2}$

Étape 12.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - \sqrt[4]{2}$

Étape 12.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

Étape 13

Déterminez la valeur approximative de $r$ .

$r = 1.18920711$

Étape 14

Déterminer les valeurs possibles de $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ et $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Étape 15

Déterminer toutes les valeurs possibles de $θ$ mène à l’équation $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Étape 16

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 17.1

Simplifiez

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Étape 17.1.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 17.1.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Étape 17.1.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Étape 17.1.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Étape 17.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 17.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 17.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 17.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 17.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 17.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 17.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 17.2.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 17.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Étape 18

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 19.1.1.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 19.1.1.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 19.1.1.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.1.1.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.1.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Étape 19.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 19.1.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Étape 19.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 19.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 19.1.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 19.1.2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 19.1.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 19.1.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 19.1.2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 19.1.2.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 19.1.2.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 19.1.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Étape 19.1.2.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 19.1.2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.1.2.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 19.1.2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 19.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 19.2

Simplifiez les termes.

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Étape 19.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{0} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 19.2.2

Associez $1.18920711$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 19.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{0} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Étape 19.3

Séparez les fractions.

$u_{0} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1}$

Étape 19.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 19.4.1

Divisez $1.18920711$ par $2$ .

$u_{0} = 0.59460355 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1})$

Étape 19.4.2

Divisez $\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ par $1$ .

$u_{0} = 0.59460355 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 19.5

Appliquez la propriété distributive.

$u_{0} = 0.59460355 \sqrt{2 + \sqrt{2}} + 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 19.6

Multipliez $0.59460355$ par $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{0} = 1.09868411 + 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 19.7

Multipliez $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ par $0.59460355$ .

$u_{0} = 1.09868411 + 0.45508986 i$

Étape 20

Remplacez $u$ par $z - 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{0} = 3 + 1.09868411 + 0.45508986 i$

Étape 21

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Étape 22

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 22.1

Simplifiez

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Étape 22.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 22.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 22.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Étape 22.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Étape 22.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Étape 22.1.6

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Étape 22.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{5 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 22.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{5 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Étape 22.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 22.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Étape 22.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Étape 22.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 22.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 22.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Étape 22.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Étape 23

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.18920711 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 24.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.1.1

Réécrivez $\frac{5 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 24.1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 24.1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 24.1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Étape 24.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 24.1.2.1

Réécrivez $\frac{5 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Étape 24.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Étape 24.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Étape 24.1.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.2.4.1

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 24.1.2.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Étape 24.1.2.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Étape 24.1.2.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Étape 24.1.2.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1.2.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Étape 24.1.2.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Étape 24.1.2.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 24.1.2.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 24.1.2.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 24.1.2.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 24.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 24.2

Simplifiez les termes.

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Étape 24.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{1} = 1.18920711 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 24.2.2

Associez $1.18920711$ et $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 24.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{1} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Étape 24.3

Séparez les fractions.

$u_{1} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1}$

Étape 24.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 24.4.1

Divisez $1.18920711$ par $2$ .

$u_{1} = 0.59460355 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1})$

Étape 24.4.2

Divisez $- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ par $1$ .

$u_{1} = 0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 24.5

Appliquez la propriété distributive.

$u_{1} = 0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}}) + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 24.6

Multipliez $0.59460355 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

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Étape 24.6.1

Multipliez $- 1$ par $0.59460355$ .

$u_{1} = - 0.59460355 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 24.6.2

Multipliez $- 0.59460355$ par $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = - 0.45508986 + 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 24.7

Multipliez $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ par $0.59460355$ .

$u_{1} = - 0.45508986 + 1.09868411 i$

Étape 25

Remplacez $u$ par $z - 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{1} = 3 - 0.45508986 + 1.09868411 i$

Étape 26

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Étape 27

Résolvez l’équation pour $θ$ .

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Étape 27.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Étape 27.1.2

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 27.1.3

Associez $4 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Étape 27.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Étape 27.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Étape 27.1.6

Additionnez $π$ et $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Étape 27.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{9 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 27.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{9 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Étape 27.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 27.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 27.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Étape 27.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Étape 27.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 27.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 27.2.3.2

Multipliez $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 27.2.3.2.1

Multipliez $\frac{9 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Étape 27.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Étape 28

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.18920711 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 29.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{9 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.1

Réécrivez $\frac{9 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Étape 29.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{9 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.1

Réécrivez $\frac{9 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Étape 29.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Étape 29.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Étape 29.1.2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Étape 29.1.2.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Étape 29.1.2.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Étape 29.1.2.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 29.1.2.4.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 29.1.2.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 29.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 1.18920711 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 29.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{2} = 1.18920711 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 29.2.2

Associez $1.18920711$ et $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Étape 29.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{2} = \frac{1.18920711 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Étape 29.3

Séparez les fractions.

$u_{2} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1}$

Étape 29.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.4.1

Divisez $1.18920711$ par $2$ .

$u_{2} = 0.59460355 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{1})$

Étape 29.4.2

Divisez $- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ par $1$ .

$u_{2} = 0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 29.5

Appliquez la propriété distributive.

$u_{2} = 0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}}) + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 29.6

Multipliez $0.59460355 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.6.1

Multipliez $- 1$ par $0.59460355$ .

$u_{2} = - 0.59460355 \sqrt{2 + \sqrt{2}} + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 29.6.2

Multipliez $- 0.59460355$ par $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = - 1.09868411 + 0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 29.7

Multipliez $0.59460355 (- i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.7.1

Multipliez $- 1$ par $0.59460355$ .

$u_{2} = - 1.09868411 - 0.59460355 (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$

Étape 29.7.2

Multipliez $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ par $- 0.59460355$ .

$u_{2} = - 1.09868411 - 0.45508986 i$

Étape 30

Remplacez $u$ par $z - 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{2} = 3 - 1.09868411 - 0.45508986 i$

Étape 31

Déterminez la valeur de $θ$ pour $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Étape 32

Résolvez l’équation pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.1.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Étape 32.1.2

Pour écrire $6 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 32.1.3

Associez $6 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Étape 32.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Étape 32.1.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Étape 32.1.6

Additionnez $π$ et $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Étape 32.2

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{13 π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.1

Divisez chaque terme dans $4 θ = \frac{13 π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Étape 32.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Étape 32.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Étape 32.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 32.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 32.2.3.2

Multipliez $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 32.2.3.2.1

Multipliez $\frac{13 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Étape 32.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Étape 33

Utilisez les valeurs de $θ$ et $r$ pour déterminer une solution à l’équation $u^{4} = 2 i$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34

Convertissez la solution en forme rectangulaire.

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Étape 34.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 34.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{13 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 34.1.1.1

Réécrivez $\frac{13 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le quatrième quadrant.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 34.1.1.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.2

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.7

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 34.1.1.4.7.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 34.1.1.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.1.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Étape 34.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{13 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 34.1.2.1

Réécrivez $\frac{13 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Étape 34.1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 34.1.2.4.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.2

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 34.1.2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Étape 34.1.2.4.8

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 34.1.2.4.8.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Étape 34.1.2.4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Étape 34.1.2.4.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Étape 34.1.2.4.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 34.1.2.4.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Étape 34.1.2.4.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Étape 34.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 34.2

Simplifiez les termes.

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Étape 34.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{3} = 1.18920711 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Étape 34.2.2

Associez $1.18920711$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Étape 34.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$u_{3} = \frac{1.18920711 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2 (1)}$

Étape 34.3

Séparez les fractions.

$u_{3} = \frac{1.18920711}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1}$

Étape 34.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 34.4.1

Divisez $1.18920711$ par $2$ .

$u_{3} = 0.59460355 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{1})$

Étape 34.4.2

Divisez $\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ par $1$ .

$u_{3} = 0.59460355 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 34.5

Appliquez la propriété distributive.

$u_{3} = 0.59460355 \sqrt{2 - \sqrt{2}} + 0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 34.6

Multipliez $0.59460355$ par $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{3} = 0.45508986 + 0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 34.7

Multipliez $0.59460355 (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

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Étape 34.7.1

Multipliez $- 1$ par $0.59460355$ .

$u_{3} = 0.45508986 - 0.59460355 (i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$

Étape 34.7.2

Multipliez $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ par $- 0.59460355$ .

$u_{3} = 0.45508986 - 1.09868411 i$

Étape 35

Remplacez $u$ par $z - 3$ pour calculer la valeur de $z$ après le décalage vers la droite.

$z_{3} = 3 + 0.45508986 - 1.09868411 i$

Étape 36

Ce sont les solutions complexes à $u^{4} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09868411 + 0.45508986 i$

$z_{1} = 2.54491013 + 1.09868411 i$

$z_{2} = 1.90131588 - 0.45508986 i$

$z_{3} = 3.45508986 - 1.09868411 i$

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