Trigonométrie Exemples

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $16 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Étape 2.1.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Multipliez $256$ par $3$ .

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{768 + 256}$

Étape 2.3.3

Additionnez $768$ et $256$ .

$r = \sqrt{1024}$

Étape 2.3.4

Réécrivez $1024$ comme $32^{2}$ .

$r = \sqrt{32^{2}}$

Étape 2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 32$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

Étape 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ est d’environ $0.57735026$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$θ̂ = \frac{π}{6}$

Étape 5

Le point se situe dans le premier quadrant car $x$ et $y$ sont positifs. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $1$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le premier quadrant. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 7

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 8

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 8.1

Associez ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ et $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

Étape 8.2

Associez $c$ et $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

Étape 8.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

Étape 8.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Étape 8.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 8.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Étape 8.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

Étape 8.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

Étape 8.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Étape 8.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Étape 8.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Étape 8.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Étape 8.5.8

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Étape 9

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

Étape 9.2

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

Étape 9.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

Étape 9.3

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 9.5.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

Étape 9.5.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

Étape 10

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

Étape 10.3

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Étape 10.4

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Étape 10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Étape 10.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

Étape 10.6.2

Additionnez $π$ et $12 π$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

Étape 10.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 10.8

Multipliez $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 10.8.1

Multipliez $\frac{13 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

Étape 10.8.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

Étape 11

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

Étape 11.3

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Étape 11.4

Associez $4 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Étape 11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Étape 11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.6.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

Étape 11.6.2

Additionnez $π$ et $24 π$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

Étape 11.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 11.8

Multipliez $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 11.8.1

Multipliez $\frac{25 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

Étape 11.8.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

Étape 12

Remplacez $k = 3$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

Étape 12.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

Étape 12.3

Pour écrire $6 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Étape 12.4

Associez $6 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Étape 12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Étape 12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.6.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

Étape 12.6.2

Additionnez $π$ et $36 π$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

Étape 12.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 12.8

Multipliez $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 12.8.1

Multipliez $\frac{37 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

Étape 12.8.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Étape 13

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

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