Trigonométrie Exemples

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

Étape 1

Calculez la distance de $(a, b)$ à l’origine en utilisant la formule $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Déplacez $32$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Appliquez la règle de produit à $32 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.1.4

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Multipliez $1024$ par $3$ .

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

Étape 2.3.2

Additionnez $1024$ et $3072$ .

$r = \sqrt{4096}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $4096$ comme $64^{2}$ .

$r = \sqrt{64^{2}}$

Étape 2.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = 64$

Étape 3

Calculez l’angle de référence $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Étape 4

Simplifiez $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

Étape 4.1.2

Divisez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

Étape 4.2

$\sqrt{3}$ est d’environ $1.7320508$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Étape 5

Déterminez le quadrant.

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Étape 5.1

Déplacez $32$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$(32, 32 \sqrt{3})$

Étape 5.2

Le point se situe dans le premier quadrant car $x$ et $y$ sont positifs. Les quadrants sont étiquetés dans l’ordre antihoraire, en commençant en haut à droite.

Quadrant $1$

Étape 6

$(a, b)$ se trouve dans le premier quadrant. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 7

Utilisez la formule pour déterminer les racines du nombre complexe.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Étape 8

Remplacez $r$ , $n$ et $θ$ dans la formule.

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Étape 8.1

Associez ${(64)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

Étape 8.2

Associez $c$ et $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

Étape 8.3

Associez $i$ et $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

Étape 8.4

Associez $s$ et $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Étape 8.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 8.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

Étape 8.5.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

Étape 8.5.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

Étape 8.5.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Étape 8.5.5

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

Étape 8.5.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Étape 8.5.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Étape 8.5.8

Supprimez les parenthèses.

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

Étape 9

Remplacez $k = 0$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 9.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 9.4

Évaluez l’exposant.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

Étape 9.5

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.5.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

Étape 9.5.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

Étape 9.6

Additionnez $\frac{π}{3}$ et $0$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

Étape 9.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 9.8

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 9.8.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

Étape 9.8.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

Étape 10

Remplacez $k = 1$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 10.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 10.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 10.4

Évaluez l’exposant.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

Étape 10.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

Étape 10.6

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Étape 10.7

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Étape 10.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

Étape 10.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.9.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

Étape 10.9.2

Additionnez $π$ et $6 π$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

Étape 10.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 10.11

Multipliez $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 10.11.1

Multipliez $\frac{7 π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

Étape 10.11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

Étape 11

Remplacez $k = 2$ dans la formule et simplifiez.

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Étape 11.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.3.1

Annulez le facteur commun.

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 11.3.2

Réécrivez l’expression.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 11.4

Évaluez l’exposant.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

Étape 11.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

Étape 11.6

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

Étape 11.7

Associez $4 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Étape 11.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

Étape 11.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.9.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

Étape 11.9.2

Additionnez $π$ et $12 π$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

Étape 11.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 11.11

Multipliez $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 11.11.1

Multipliez $\frac{13 π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

Étape 11.11.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

Étape 12

Indiquez les solutions.

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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