Trigonométrie Exemples

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1

Factorisez

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Étape 1.1

Factorisez

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ où

p

$p$ est un facteur de la constante et

q

$q$ est un facteur du coefficient directeur.

p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 1.1.3

Remplacez

1

$1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à

0

$0$ donc

1

$1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez

1

$1$ dans le polynôme.

1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Étape 1.1.3.2

Élevez

1

$1$ à la puissance

3

$3$ .

1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Étape 1.1.3.3

Élevez

1

$1$ à la puissance

2

$2$ .

1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Étape 1.1.3.4

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

1 + 4 + 1 - 6

$1 + 4 + 1 - 6$

Étape 1.1.3.5

Additionnez

1

$1$ et

4

$4$ .

5 + 1 - 6

$5 + 1 - 6$

Étape 1.1.3.6

Additionnez

5

$5$ et

1

$1$ .

6 - 6

$6 - 6$

Étape 1.1.3.7

Soustrayez

6

$6$ de

6

$6$ .

0

$0$

0

$0$

Étape 1.1.4

Comme

1

$1$ est une racine connue, divisez le polynôme par

x - 1

$x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Étape 1.1.5

Divisez

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ par

x - 1

$x - 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de

0

$0$ .

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

x

$x$

6

$6$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

x^{3}

$x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

5 x^{2}

$5 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	-	$5 x$ $5 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

5 x^{2} - 5 x

$5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende

6 x

$6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans

$6 x - 6$

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$5 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est

$0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 5 x + 6$

Étape 1.1.6

Écrivez

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1.2

Factorisez

$x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Factorisez

$x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1.1

Étudiez la forme

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

$c$ et dont la somme est

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

$6$ et dont la somme est

$5$ .

$2, 3$

Étape 1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Étape 2

Factorisez

$x^{2} + 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

$c$ et dont la somme est

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

$6$ et dont la somme est

$5$ .

$2, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de

$x + 2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de

$x + 3$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Étape 4.2

Divisez

$x - 1$ par

$1$ .

$f (x) = x - 1$

Étape 5

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x + 2, x + 3$

Étape 6

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à

$0$ , résolvez et remplacez à nouveau par

$x - 1$ .

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Étape 6.1

Définissez

$x + 2$ égal à

$0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez

$2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.3

Remplacez

$x$ par

$- 2$ dans

$x - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Remplacez

$x$ par

$- 2$ pour déterminer la coordonnée

$y$ du trou.

$- 2 - 1$

Étape 6.3.2

Soustrayez

$1$ de

$- 2$ .

$- 3$

Étape 6.4

Définissez

$x + 3$ égal à

$0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.5

Soustrayez

$3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.6

Remplacez

$x$ par

$- 3$ dans

$x - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Remplacez

$x$ par

$- 3$ pour déterminer la coordonnée

$y$ du trou.

$- 3 - 1$

Étape 6.6.2

Soustrayez

$1$ de

$- 3$ .

$- 4$

Étape 6.7

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à

$0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Étape 7

Saisissez VOTRE problème