Exemples

$x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$

Étape 1

Complétez le carré pour $x^{2} + 4 x$ .

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Étape 1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Étape 1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Étape 1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{2}{1}$

Étape 1.3.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = 2$

Étape 1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 1.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 1.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 1.4.2.1.1.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 2)}^{2} - 4$ .

${(x + 2)}^{2} - 4$

Étape 2

Remplacez $x^{2} + 4 x$ par ${(x + 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - 4 - y^{2} - 8 y = 0$

Étape 3

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x + 2)}^{2} - y^{2} - 8 y = 0 + 4$

Étape 4

Complétez le carré pour $- y^{2} - 8 y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 4$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 4$ comme $- - 4$ .

$d = - - 4$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$d = 4$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Étape 4.4.2.1.3

Divisez $64$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 16$

Étape 4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$e = 16$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 4)}^{2} + 16$ .

$- {(y + 4)}^{2} + 16$

Étape 5

Remplacez $- y^{2} - 8 y$ par $- {(y + 4)}^{2} + 16$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} + 4 x - 8 y = 0$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} + 16 = 0 + 4$

Étape 6

Déplacez $16$ du côté droit de l’équation en ajoutant $16$ des deux côtés.

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 0 + 4 - 16$

Étape 7

Simplifiez $0 + 4 - 16$ .

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Étape 7.1

Additionnez $0$ et $4$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = 4 - 16$

Étape 7.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

${(x + 2)}^{2} - {(y + 4)}^{2} = - 12$

Étape 8

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- {(x + 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 12$

Étape 9

Divisez chaque terme par $12$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 4)}^{2}}{12} - \frac{{(x + 2)}^{2}}{12} = 1$

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