Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $2$ est la matrice carrée $2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez $I_{2}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.2.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2.2.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2.4

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{2} - 1 = 0$

Étape 1.7

Résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$λ^{2} = 1$

Étape 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.7.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$λ = \pm 1$

Étape 1.7.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$λ = 1$

Étape 1.7.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$λ = - 1$

Étape 1.7.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$λ = 1, - 1$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Soustrayez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Étape 3.2.2.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Saisissez VOTRE problème