Statistiques Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 6 & 0.3 \\ 9 & 0.4 \\ 13 & 0.3 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.4$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.4$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.5

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.6

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.3 + 0.4 + 0.3$

Étape 1.7

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$ .

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Étape 1.7.1

Additionnez $0.3$ et $0.4$ .

$0.7 + 0.3$

Étape 1.7.2

Additionnez $0.7$ et $0.3$ .

$1$

Étape 1.8

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.3 + 0.4 + 0.3 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$u = 6 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.3$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $6$ par $0.3$ .

$u = 1.8 + 9 \cdot 0.4 + 13 \cdot 0.3$

Étape 3.2

Multipliez $9$ par $0.4$ .

$u = 1.8 + 3.6 + 13 \cdot 0.3$

Étape 3.3

Multipliez $13$ par $0.3$ .

$u = 1.8 + 3.6 + 3.9$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $1.8$ et $3.6$ .

$u = 5.4 + 3.9$

Étape 4.2

Additionnez $5.4$ et $3.9$ .

$u = 9.3$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

${(6 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $9.3$ .

${(6 - 9.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.2

Soustrayez $9.3$ de $6$ .

${(- 3.3)}^{2} \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.3

Élevez $- 3.3$ à la puissance $2$ .

$10.89 \cdot 0.3 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.4

Multipliez $10.89$ par $0.3$ .

$3.267 + {(9 - (9.3))}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $9.3$ .

$3.267 + {(9 - 9.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.6

Soustrayez $9.3$ de $9$ .

$3.267 + {(- 0.3)}^{2} \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.7

Élevez $- 0.3$ à la puissance $2$ .

$3.267 + 0.09 \cdot 0.4 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.8

Multipliez $0.09$ par $0.4$ .

$3.267 + 0.036 + {(13 - (9.3))}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.9

Multipliez $- 1$ par $9.3$ .

$3.267 + 0.036 + {(13 - 9.3)}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.10

Soustrayez $9.3$ de $13$ .

$3.267 + 0.036 + {3.7}^{2} \cdot 0.3$

Étape 7.1.11

Élevez $3.7$ à la puissance $2$ .

$3.267 + 0.036 + 13.69 \cdot 0.3$

Étape 7.1.12

Multipliez $13.69$ par $0.3$ .

$3.267 + 0.036 + 4.107$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.1

Additionnez $3.267$ et $0.036$ .

$3.303 + 4.107$

Étape 7.2.2

Additionnez $3.303$ et $4.107$ .

$7.41$

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