Statistiques Exemples

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 7 & 0.2 \\ 11 & 0.1 \\ 14 & 0.3 \\ 17 & 0.2 \\ 20 & 0.2 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète $x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que $0$ , $1$ , $2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité $P (x)$ à chaque valeur possible $x$ . Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ diminue entre $0$ et $1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est égale à $1$ .

1. Pour chaque $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.3

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.1$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.4

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.3$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.5

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0.2$ est compris entre $0$ et $1$ inclus

Étape 1.6

Pour chaque $x$ , la probabilité $P (x)$ est compris entre $0$ et $1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.7

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles.

$0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Étape 1.8

La somme des probabilités pour toutes les valeurs $x$ possibles est $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $0.2$ et $0.1$ .

$0.3 + 0.3 + 0.2 + 0.2$

Étape 1.8.2

Additionnez $0.3$ et $0.3$ .

$0.6 + 0.2 + 0.2$

Étape 1.8.3

Additionnez $0.6$ et $0.2$ .

$0.8 + 0.2$

Étape 1.8.4

Additionnez $0.8$ et $0.2$ .

$1$

Étape 1.9

Pour chaque $x$ , la probabilité de $P (x)$ est comprise entre $0$ et $1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les $x$ possibles est égale à $1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 : $0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs $x$

Propriété 2 : $0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.2 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

$u = 7 \cdot 0.2 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez $7$ par $0.2$ .

$u = 1.4 + 11 \cdot 0.1 + 14 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

Étape 3.2

Multipliez $11$ par $0.1$ .

$u = 1.4 + 1.1 + 14 \cdot 0.3 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

Étape 3.3

Multipliez $14$ par $0.3$ .

$u = 1.4 + 1.1 + 4.2 + 17 \cdot 0.2 + 20 \cdot 0.2$

Étape 3.4

Multipliez $17$ par $0.2$ .

$u = 1.4 + 1.1 + 4.2 + 3.4 + 20 \cdot 0.2$

Étape 3.5

Multipliez $20$ par $0.2$ .

$u = 1.4 + 1.1 + 4.2 + 3.4 + 4$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $1.4$ et $1.1$ .

$u = 2.5 + 4.2 + 3.4 + 4$

Étape 4.2

Additionnez $2.5$ et $4.2$ .

$u = 6.7 + 3.4 + 4$

Étape 4.3

Additionnez $6.7$ et $3.4$ .

$u = 10.1 + 4$

Étape 4.4

Additionnez $10.1$ et $4$ .

$u = 14.1$

Étape 5

La variance d’une distribution est une mesure de la dispersion et est égale au carrée de l’écart-type.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Étape 6

Renseignez les valeurs connues.

${(7 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 1$ par $14.1$ .

${(7 - 14.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.2

Soustrayez $14.1$ de $7$ .

${(- 7.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.3

Élevez $- 7.1$ à la puissance $2$ .

$50.41 \cdot 0.2 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.4

Multipliez $50.41$ par $0.2$ .

$10.082 + {(11 - (14.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.5

Multipliez $- 1$ par $14.1$ .

$10.082 + {(11 - 14.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.6

Soustrayez $14.1$ de $11$ .

$10.082 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.7

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$10.082 + 9.61 \cdot 0.1 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.8

Multipliez $9.61$ par $0.1$ .

$10.082 + 0.961 + {(14 - (14.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.9

Multipliez $- 1$ par $14.1$ .

$10.082 + 0.961 + {(14 - 14.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.10

Soustrayez $14.1$ de $14$ .

$10.082 + 0.961 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.11

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$10.082 + 0.961 + 0.01 \cdot 0.3 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.12

Multipliez $0.01$ par $0.3$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + {(17 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.13

Multipliez $- 1$ par $14.1$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + {(17 - 14.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.14

Soustrayez $14.1$ de $17$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.15

Élevez $2.9$ à la puissance $2$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.2 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.16

Multipliez $8.41$ par $0.2$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + {(20 - (14.1))}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.17

Multipliez $- 1$ par $14.1$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + {(20 - 14.1)}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.18

Soustrayez $14.1$ de $20$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + {5.9}^{2} \cdot 0.2$

Étape 7.1.19

Élevez $5.9$ à la puissance $2$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + 34.81 \cdot 0.2$

Étape 7.1.20

Multipliez $34.81$ par $0.2$ .

$10.082 + 0.961 + 0.003 + 1.682 + 6.962$

Étape 7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.1

Additionnez $10.082$ et $0.961$ .

$11.043 + 0.003 + 1.682 + 6.962$

Étape 7.2.2

Additionnez $11.043$ et $0.003$ .

$11.046 + 1.682 + 6.962$

Étape 7.2.3

Additionnez $11.046$ et $1.682$ .

$12.728 + 6.962$

Étape 7.2.4

Additionnez $12.728$ et $6.962$ .

$19.69$

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