Statistiques Exemples

$x < 3$ , $n = 3$ , $p = 0.4$

Étape 1

Soustrayez $0.4$ de $1$ .

$0.6$

Étape 2

Lorsque la valeur du nombre de succès $x$ est indiquée comme un intervalle, la probabilité de $x$ est la somme des probabilités de toutes les valeurs $x$ possibles entre $0$ et $n$ . Dans ce cas, $p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$ .

$p (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2)$

Étape 3

Déterminez la probabilité de $p (0)$ .

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Étape 3.1

Utilisez la formule de la probabilité d’une distribution binomiale pour résoudre le problème.

$p (x) = {}_{3}C_{0} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Étape 3.2

Déterminez la valeur de ${}_{3}C_{0}$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez le nombre de possibilités de combinaisons dans le désordre lorsque $r$ éléments sont sélectionnés parmi $n$ éléments disponibles.

${}_{3}C_{0} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Étape 3.2.2

Renseignez les valeurs connues.

$\frac{(3)!}{(0)! (3 - 0)!}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.3.1.1

Développez $(3)!$ en $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.2.3.1.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{(0)! (3 - 0)!}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6}{(0)! (3 - 0)!}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.3.2.1

Développez $(0)!$ en $1$ .

$\frac{6}{1 (3 - 0)!}$

Étape 3.2.3.2.2

Soustrayez $0$ de $3$ .

$\frac{6}{1 (3)!}$

Étape 3.2.3.2.3

Développez $(3)!$ en $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

$\frac{6}{1 (3 \cdot 2 \cdot 1)}$

Étape 3.2.3.2.4

Multipliez $3 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 3.2.3.2.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6}{1 (6 \cdot 1)}$

Étape 3.2.3.2.4.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6}{1 \cdot 6}$

Étape 3.2.3.2.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6}{6}$

Étape 3.2.3.3

Divisez $6$ par $6$ .

$1$

Étape 3.3

Renseignez les valeurs connues dans l’équation.

$1 \cdot {(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Étape 3.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.1

Multipliez ${(0.4)}^{0}$ par $1$ .

${(0.4)}^{0} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Étape 3.4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Étape 3.4.3

Multipliez ${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$ par $1$ .

${(1 - 0.4)}^{3 - 0}$

Étape 3.4.4

Soustrayez $0.4$ de $1$ .

${0.6}^{3 - 0}$

Étape 3.4.5

Soustrayez $0$ de $3$ .

${0.6}^{3}$

Étape 3.4.6

Élevez $0.6$ à la puissance $3$ .

$0.216$

Étape 4

Déterminez la probabilité de $p (1)$ .

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Étape 4.1

Utilisez la formule de la probabilité d’une distribution binomiale pour résoudre le problème.

$p (x) = {}_{3}C_{1} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Étape 4.2

Déterminez la valeur de ${}_{3}C_{1}$ .

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Étape 4.2.1

Déterminez le nombre de possibilités de combinaisons dans le désordre lorsque $r$ éléments sont sélectionnés parmi $n$ éléments disponibles.

${}_{3}C_{1} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Étape 4.2.2

Renseignez les valeurs connues.

$\frac{(3)!}{(1)! (3 - 1)!}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{(3)!}{(1)! (2)!}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $(3)!$ comme $3 \cdot 2!$ .

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Étape 4.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2!$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2!}{(1)! (2)!}$

Étape 4.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{(1)!}$

Étape 4.2.3.4

Développez $(1)!$ en $1$ .

$\frac{3}{1}$

Étape 4.2.3.5

Divisez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4.3

Renseignez les valeurs connues dans l’équation.

$3 \cdot (0.4) \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Étape 4.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.1

Évaluez l’exposant.

$3 \cdot 0.4 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $0.4$ .

$1.2 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 1}$

Étape 4.4.3

Soustrayez $0.4$ de $1$ .

$1.2 \cdot {0.6}^{3 - 1}$

Étape 4.4.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$1.2 \cdot {0.6}^{2}$

Étape 4.4.5

Élevez $0.6$ à la puissance $2$ .

$1.2 \cdot 0.36$

Étape 4.4.6

Multipliez $1.2$ par $0.36$ .

$0.432$

Étape 5

Déterminez la probabilité de $p (2)$ .

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Étape 5.1

Utilisez la formule de la probabilité d’une distribution binomiale pour résoudre le problème.

$p (x) = {}_{3}C_{2} \cdot p^{x} \cdot q^{n - x}$

Étape 5.2

Déterminez la valeur de ${}_{3}C_{2}$ .

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Étape 5.2.1

Déterminez le nombre de possibilités de combinaisons dans le désordre lorsque $r$ éléments sont sélectionnés parmi $n$ éléments disponibles.

${}_{3}C_{2} = {}_{n}C_{r} = \frac{n!}{(r)! (n - r)!}$

Étape 5.2.2

Renseignez les valeurs connues.

$\frac{(3)!}{(2)! (3 - 2)!}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{(3)!}{(2)! (1)!}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $(3)!$ comme $3 \cdot 2!$ .

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2!$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2!}{(2)! (1)!}$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{(1)!}$

Étape 5.2.3.4

Développez $(1)!$ en $1$ .

$\frac{3}{1}$

Étape 5.2.3.5

Divisez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.3

Renseignez les valeurs connues dans l’équation.

$3 \cdot {(0.4)}^{2} \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Étape 5.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.4.1

Élevez $0.4$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 0.16 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Étape 5.4.2

Multipliez $3$ par $0.16$ .

$0.48 \cdot {(1 - 0.4)}^{3 - 2}$

Étape 5.4.3

Soustrayez $0.4$ de $1$ .

$0.48 \cdot {0.6}^{3 - 2}$

Étape 5.4.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$0.48 \cdot {0.6}^{1}$

Étape 5.4.5

Évaluez l’exposant.

$0.48 \cdot 0.6$

Étape 5.4.6

Multipliez $0.48$ par $0.6$ .

$0.288$

Étape 6

La probabilité $P (x < 3)$ est la somme des probabilités de toutes les valeurs $x$ possibles entre $0$ et $n$ . $P (x < 3) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 0.216 + 0.432 + 0.288 = 0.936$ .

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Étape 6.1

Additionnez $0.216$ et $0.432$ .

$p (x < 3) = 0.648 + 0.288$

Étape 6.2

Additionnez $0.648$ et $0.288$ .

$p (x < 3) = 0.936$

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