Statistiques Exemples

\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.1 \\ 4 & 0.3 \\ 7 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 2 & 0.1 \\ 4 & 0.3 \\ 7 & 0.2 \\ 10 & 0.1 \\ 11 & 0.1 \\ 13 & 0.2 \end{array}$

Étape 1

Démontrez que la table donnée respecte les deux propriétés requises pour une distribution de probabilité.

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Étape 1.1

Une variable aléatoire discrète

x

$x$ prend un ensemble de valeurs séparées (tel que

0

$0$ ,

1

$1$ ,

2

$2$ …). Sa distribution de probabilité affecte une probabilité

P (x)

$P (x)$ à chaque valeur possible

x

$x$ . Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ diminue entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus et la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ .

1. Pour chaque

x

$x$ ,

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Étape 1.2

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.3

0.3

$0.3$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.3

$0.3$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.4

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.5

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.1

$0.1$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.6

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0.2

$0.2$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus

Étape 1.7

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité

P (x)

$P (x)$ est compris entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus, ce qui correspond à la première propriété de la distribution de probabilité.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs x

Étape 1.8

Déterminez la somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles.

0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2

$0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9

La somme des probabilités pour toutes les valeurs

x

$x$ possibles est

0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2 = 1$ .

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Étape 1.9.1

Additionnez

0.1

$0.1$ et

0.3

$0.3$ .

0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2

$0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9.2

Additionnez

0.4

$0.4$ et

0.2

$0.2$ .

0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.2

$0.6 + 0.1 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9.3

Additionnez

0.6

$0.6$ et

0.1

$0.1$ .

0.7 + 0.1 + 0.2

$0.7 + 0.1 + 0.2$

Étape 1.9.4

Additionnez

0.7

$0.7$ et

0.1

$0.1$ .

0.8 + 0.2

$0.8 + 0.2$

Étape 1.9.5

Additionnez

0.8

$0.8$ et

0.2

$0.2$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 1.10

Pour chaque

x

$x$ , la probabilité de

P (x)

$P (x)$ est comprise entre

0

$0$ et

1

$1$ inclus. Par ailleurs, la somme des probabilités pour tous les

x

$x$ possibles est égale à

1

$1$ , ce qui signifie que la table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2 = 1$

La table respecte les deux propriétés d’une distribution de probabilité :

Propriété 1 :

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ pour toutes les valeurs

x

$x$

Propriété 2 :

0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2 = 1

$0.1 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.2 = 1$

Étape 2

L’espérance mathématique d’une distribution est la valeur attendue si les essais de la distribution pouvaient continuer infiniment. Elle est égale à chaque valeur multipliée par sa probabilité discrète.

Expectation = 2 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2

$Expectation = 2 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez

2

$2$ par

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2$

Étape 3.1.2

Multipliez

4

$4$ par

0.3

$0.3$ .

Expectation = 0.2 + 1.2 + 7 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 7 \cdot 0.2 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2$

Étape 3.1.3

Multipliez

7

$7$ par

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 10 \cdot 0.1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2$

Étape 3.1.4

Multipliez

10

$10$ par

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 11 \cdot 0.1 + 13 \cdot 0.2$

Étape 3.1.5

Multipliez

11

$11$ par

0.1

$0.1$ .

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 1.1 + 13 \cdot 0.2

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 1.1 + 13 \cdot 0.2$

Étape 3.1.6

Multipliez

13

$13$ par

0.2

$0.2$ .

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 1.1 + 2.6

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 1.1 + 2.6$

Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 1.1 + 2.6

$Expectation = 0.2 + 1.2 + 1.4 + 1 + 1.1 + 2.6$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.1

Additionnez

0.2

$0.2$ et

1.2

$1.2$ .

Expectation = 1.4 + 1.4 + 1 + 1.1 + 2.6

$Expectation = 1.4 + 1.4 + 1 + 1.1 + 2.6$

Étape 3.2.2

Additionnez

1.4

$1.4$ et

1.4

$1.4$ .

Expectation = 2.8 + 1 + 1.1 + 2.6

$Expectation = 2.8 + 1 + 1.1 + 2.6$

Étape 3.2.3

Additionnez

2.8

$2.8$ et

1

$1$ .

Expectation = 3.8 + 1.1 + 2.6

$Expectation = 3.8 + 1.1 + 2.6$

Étape 3.2.4

Additionnez

3.8

$3.8$ et

1.1

$1.1$ .

Expectation = 4.9 + 2.6

$Expectation = 4.9 + 2.6$

Étape 3.2.5

Additionnez

4.9

$4.9$ et

2.6

$2.6$ .

Expectation = 7.5

$Expectation = 7.5$

Expectation = 7.5

$Expectation = 7.5$

Expectation = 7.5

$Expectation = 7.5$

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