Pré-calcul Exemples

(6, 8)

$(6, 8)$ ,

(2, 4)

$(2, 4)$

Étape 1

Utilisez la formule du produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Déterminez le produit scalaire.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez

6

$6$ par

2

$2$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

8

$8$ par

4

$4$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Étape 2.2.2

Additionnez

12

$12$ et

32

$32$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

a⃗ \cdot b⃗ = 44

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de

a⃗

$a⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Élevez

6

$6$ à la puissance

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez

$8$ à la puissance

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez

$36$ et

$64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Étape 3.2.4

Réécrivez

$100$ comme

$10^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 10$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de

$b⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Étape 4.2.3

Additionnez

$4$ et

$16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Étape 4.2.4

Réécrivez

$20$ comme

$2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Factorisez

$4$ à partir de

$20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun à

$44$ et

$10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$44$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$10 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à

$22$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$5 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Étape 6.3

Multipliez

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ par

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Multipliez

$\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ par

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 6.4.2

Déplacez

$\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Étape 6.4.3

Élevez

$\sqrt{5}$ à la puissance

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Étape 6.4.4

Élevez

$\sqrt{5}$ à la puissance

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 6.4.7

Réécrivez

${\sqrt{5}}^{2}$ comme

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.7.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{5}$ comme

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.7.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Étape 6.5

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Étape 6.6

Évaluez

$\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

Saisissez VOTRE problème