Pré-calcul Exemples

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Étape 1

Utilisez la formule du produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 2.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $3$ par $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8$ par $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Étape 2.2.2

Additionnez $27$ et $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez $9$ et $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Étape 4.2.3

Additionnez $81$ et $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| b⃗ | = 15$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $123$ et $15$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $123$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\sqrt{73} \cdot 15$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Étape 6.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ par $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ par $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Étape 6.4.2

Déplacez $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{73}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Étape 6.4.4

Élevez $\sqrt{73}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Étape 6.4.7

Réécrivez ${\sqrt{73}}^{2}$ comme $73$ .

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Étape 6.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{73}$ comme $73^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Étape 6.5

Multipliez $5$ par $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

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