Pré-calcul Exemples

135

$135$ ,

45

$45$ ,

15

$15$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique :

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de

a_{1} = 135

$a_{1} = 135$ et

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$ .

a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

Étape 6

Associez

135

$135$ et

\frac{1}{3^{n - 1}}

$\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des

n

$n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de

r

$r$ et

a_{1}

$a_{1}$ .

S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer

S_{5}

$S_{5}$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.3

Élevez

3

$3$ à la puissance

5

$5$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.4

Pour écrire

- 1

$- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{243}{243}

$\frac{243}{243}$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.5

Associez

- 1

$- 1$ et

\frac{243}{243}

$\frac{243}{243}$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.7.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

243

$243$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.7.2

Soustrayez

243

$243$ de

1

$1$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Pour écrire

- 1

$- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 10.2

Associez

- 1

$- 1$ et

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 10.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

3

$3$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez

3

$3$ de

1

$1$ .

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Étape 10.5

Placez le signe moins devant la fraction.

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Étape 11

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Étape 12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 13.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

242

$242$ .

S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

Étape 14

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 14.1

Factorisez

$3$ à partir de

$243$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de

$27$ .

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Étape 15.1

Factorisez

$27$ à partir de

$135$ .

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

Étape 15.2

Factorisez

$27$ à partir de

$81$ .

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Étape 15.3

Annulez le facteur commun.

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Étape 15.4

Réécrivez l’expression.

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

Étape 16

Associez

$5$ et

$\frac{121}{3}$ .

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

Étape 17

Multipliez

$5$ par

$121$ .

$S_{5} = \frac{605}{3}$

Étape 18

Convertissez la fraction en une décimale.

$S_{5} = 201.\overline{6}$

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