Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 7$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x^{2} - 7}{x - 7}$ quand $x = 7$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$7$	$2$	$0$	$- 7$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(7)$ et placez le résultat de $(14)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$	$14$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(14)$ par le diviseur $(7)$ et placez le résultat de $(98)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$	$91$

Étape 2.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(2) x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Étape 2.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Étape 3

Comme $7 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $7$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $7$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x^{2} - 7}{x + 7}$ quand $x = - 7$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(- 14)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$	$- 14$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(- 7)$ et placez le résultat de $(98)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$	$91$

Étape 4.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(2) x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Étape 4.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Étape 5

Comme $- 7 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 7$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 7$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x^{2} - 7}{x - \frac{7}{2}}$ quand $x = \frac{7}{2}$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(\frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$	$7$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(7)$ par le diviseur $(\frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(\frac{49}{2})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$	$\frac{35}{2}$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(2) x + 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x - \frac{7}{2}}$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x + 7 + \frac{35}{2 x - 7}$

Étape 7

Comme $\frac{7}{2} > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $\frac{7}{2}$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $\frac{7}{2}$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{2 x^{2} - 7}{x + \frac{7}{2}}$ quand $x = - \frac{7}{2}$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(2)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- \frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$	$- 7$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 7)$ par le diviseur $(- \frac{7}{2})$ et placez le résultat de $(\frac{49}{2})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{35}{2}$

Étape 8.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(2) x - 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x + \frac{7}{2}}$

Étape 8.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$2 x - 7 + \frac{35}{2 x + 7}$

Étape 9

Comme $- \frac{7}{2} < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- \frac{7}{2}$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- \frac{7}{2}$

Étape 10

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $7, \frac{7}{2}$

Bornes inférieures : $- 7, - \frac{7}{2}$

Étape 11

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