Pré-calcul Exemples

x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0$

Étape 1

Ajoutez

3

$3$ aux deux côtés de l’équation.

x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$

Étape 2

Complétez le carré pour

x^{2} + 12 x

$x^{2} + 12 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 12

$b = 12$

c = 0

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{12}{2 \cdot 1}

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à

12

$12$ et

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

12

$12$ .

d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

d = \frac{6}{1}

$d = \frac{6}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez

6

$6$ par

1

$1$ .

d = 6

$d = 6$

d = 6

$d = 6$

d = 6

$d = 6$

d = 6

$d = 6$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Élevez

12

$12$ à la puissance

2

$2$ .

e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

1

$1$ .

e = 0 - \frac{144}{4}

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez

144

$144$ par

4

$4$ .

e = 0 - 1 \cdot 36

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

36

$36$ .

e = 0 - 36

$e = 0 - 36$

e = 0 - 36

$e = 0 - 36$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez

36

$36$ de

0

$0$ .

e = - 36

$e = - 36$

e = - 36

$e = - 36$

e = - 36

$e = - 36$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

{(x + 6)}^{2} - 36

${(x + 6)}^{2} - 36$ .

{(x + 6)}^{2} - 36

${(x + 6)}^{2} - 36$

{(x + 6)}^{2} - 36

${(x + 6)}^{2} - 36$

Étape 3

Remplacez

x^{2} + 12 x

$x^{2} + 12 x$ par

{(x + 6)}^{2} - 36

${(x + 6)}^{2} - 36$ dans l’équation

x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

{(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3

${(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3$

Étape 4

Déplacez

- 36

$- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant

36

$36$ des deux côtés.

{(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36

${(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36$

Étape 5

Complétez le carré pour

- y^{2} - 12 y

$- y^{2} - 12 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = - 12

$b = - 12$

c = 0

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à

- 12

$- 12$ et

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 12

$- 12$ .

d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de

\frac{- 6}{- 1}

$\frac{- 6}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot - 6

$d = - 1 \cdot - 6$

d = - 1 \cdot - 6

$d = - 1 \cdot - 6$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez

- 1 \cdot - 6

$- 1 \cdot - 6$ comme

- - 6

$- - 6$ .

d = - - 6

$d = - - 6$

Étape 5.3.2.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 6

$- 6$ .

d = 6

$d = 6$

d = 6

$d = 6$

d = 6

$d = 6$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez

- 12

$- 12$ à la puissance

2

$2$ .

e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

- 1

$- 1$ .

e = 0 - \frac{144}{- 4}

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez

144

$144$ par

- 4

$- 4$ .

e = 0 - - 36

$e = 0 - - 36$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 36

$- 36$ .

e = 0 + 36

$e = 0 + 36$

e = 0 + 36

$e = 0 + 36$

Étape 5.4.2.2

Additionnez

0

$0$ et

36

$36$ .

e = 36

$e = 36$

e = 36

$e = 36$

e = 36

$e = 36$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

- {(y + 6)}^{2} + 36

$- {(y + 6)}^{2} + 36$ .

- {(y + 6)}^{2} + 36

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

- {(y + 6)}^{2} + 36

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

Étape 6

Remplacez

- y^{2} - 12 y

$- y^{2} - 12 y$ par

- {(y + 6)}^{2} + 36

$- {(y + 6)}^{2} + 36$ dans l’équation

x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

{(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36$

Étape 7

Déplacez

36

$36$ du côté droit de l’équation en ajoutant

36

$36$ des deux côtés.

{(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36$

Étape 8

Simplifiez

3 + 36 - 36

$3 + 36 - 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Additionnez

3

$3$ et

36

$36$ .

{(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36$

Étape 8.2

Soustrayez

36

$36$ de

39

$39$ .

{(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

{(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

Étape 9

Divisez chaque terme par

3

$3$ pour rendre le côté droit égal à un.

\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

1

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

1

$1$ .

\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1$

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