Pré-calcul Exemples

f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Étape 1

Écrivez

f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$f (x) = 7 - 3 x + 2 x^{2}$ comme une équation.

y = 7 - 3 x + 2 x^{2}

$y = 7 - 3 x + 2 x^{2}$

Étape 2

Comme

x

$x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

7 - 3 x + 2 x^{2} = y

$7 - 3 x + 2 x^{2} = y$

Étape 3

Soustrayez

7

$7$ des deux côtés de l’équation.

- 3 x + 2 x^{2} = y - 7

$- 3 x + 2 x^{2} = y - 7$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre

- 3 x

$- 3 x$ et

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

2 x^{2} - 3 x = y - 7

$2 x^{2} - 3 x = y - 7$

Étape 4.2

Utilisez la forme

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de

a

$a$ ,

b

$b$ et

c

$c$ .

a = 2

$a = 2$

b = - 3

$b = - 3$

c = 0 = y - 7

$c = 0 = y - 7$

Étape 4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

a {(x + d)}^{2} + e = y - 7

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 7$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de

d

$d$ en utilisant la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

d = \frac{- 3}{4}

$d = \frac{- 3}{4}$

Étape 4.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

Étape 4.5

Déterminez la valeur de

e

$e$ en utilisant la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Remplacez les valeurs de

c

$c$ ,

b

$b$ et

a

$a$ dans la formule

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Élevez

- 3

$- 3$ à la puissance

2

$2$ .

e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez

4

$4$ par

2

$2$ .

e = 0 - \frac{9}{8}

$e = 0 - \frac{9}{8}$

e = 0 - \frac{9}{8}

$e = 0 - \frac{9}{8}$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez

\frac{9}{8}

$\frac{9}{8}$ de

0

$0$ .

e = - \frac{9}{8}

$e = - \frac{9}{8}$

e = - \frac{9}{8}

$e = - \frac{9}{8}$

e = - \frac{9}{8}

$e = - \frac{9}{8}$

Étape 4.6

Remplacez les valeurs de

a

$a$ ,

d

$d$ et

e

$e$ dans la forme du sommet

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{9}{8} = y - 7$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas

x

$x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez

\frac{9}{8}

$\frac{9}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 + \frac{9}{8}$

Étape 5.2

Pour écrire

- 7

$- 7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - 7 \cdot \frac{8}{8} + \frac{9}{8}$

Étape 5.3

Associez

- 7

$- 7$ et

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{9}{8}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 7 \cdot 8 + 9}{8}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez

- 7

$- 7$ par

8

$8$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 56 + 9}{8}$

Étape 5.5.2

Additionnez

- 56

$- 56$ et

9

$9$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{- 47}{8}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$

Étape 6

Divisez chaque terme dans

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y - \frac{47}{8}$ par

2

$2$ .

\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez

${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ par

$1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} + \frac{- \frac{47}{8}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez

$- \frac{47}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Multipliez

$\frac{1}{2}$ par

$\frac{47}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{2 \cdot 8}$

Étape 6.3.1.2.2

Multipliez

$2$ par

$8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} - \frac{47}{16}$

Étape 7

Factorisez.

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Étape 7.1

Pour écrire

$\frac{y}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{47}{16}$

Étape 7.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 7.2.1

Multipliez

$\frac{y}{2}$ par

$\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{2 \cdot 8} - \frac{47}{16}$

Étape 7.2.2

Multipliez

$2$ par

$8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8}{16} - \frac{47}{16}$

Étape 7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y \cdot 8 - 47}{16}$

Étape 7.4

Déplacez

$8$ à gauche de

$y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{8 y - 47}{16}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{16} (8 y - 47)$

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