Pré-calcul Exemples

2 \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

2 \cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans

2 \cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans

2 \cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ par

2

$2$ .

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez

\cos (x)

$\cos (x)$ par

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

\cos (x) = \frac{1}{2}

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du cosinus.

x = \arccos (\frac{1}{2})

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de

\arccos (\frac{1}{2})

$\arccos (\frac{1}{2})$ est

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ .

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

2 π

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

x = 2 π - \frac{π}{3}

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Simplifiez

2 π - \frac{π}{3}

$2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.1

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

x = \frac{6 π - π}{3}

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

x = \frac{5 π}{3}

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction

\cos (x)

$\cos (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

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