Pré-calcul Exemples

x^{2} + 4 y^{2} = 16

$x^{2} + 4 y^{2} = 16$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme par

16

$16$ pour rendre le côté droit égal à un.

\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à

1

$1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable

a

$a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse,

b

$b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse,

h

$h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et

k

$k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

a = 4

$a = 4$

b = 2

$b = 2$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de

(h, k)

$(h, k)$ . Remplacez les valeurs de

h

$h$ et

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez

c

$c$ , la distance du centre à un foyer.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

\sqrt{a^{2} - b^{2}}

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{16 - {(2)}^{2}}

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\sqrt{16 - 1 \cdot 4}

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Étape 5.3.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

\sqrt{16 - 4}

$\sqrt{16 - 4}$

Étape 5.3.4

Soustrayez

4

$4$ de

16

$16$ .

\sqrt{12}

$\sqrt{12}$

Étape 5.3.5

Réécrivez

12

$12$ comme

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

12

$12$ .

\sqrt{4 (3)}

$\sqrt{4 (3)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

\sqrt{2^{2} \cdot 3}

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant

a

$a$ à

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

a

$a$ et

k

$k$ dans la formule.

(0 + 4, 0)

$(0 + 4, 0)$

Étape 6.3

Simplifiez

(4, 0)

$(4, 0)$

Étape 6.4

Le deuxième sommet d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant

a

$a$ à

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

a

$a$ et

k

$k$ dans la formule.

(0 - (4), 0)

$(0 - (4), 0)$

Étape 6.6

Simplifiez

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

{Vertex}_{1}

${Vertex}_{1}$ :

(4, 0)

$(4, 0)$

{Vertex}_{2}

${Vertex}_{2}$ :

(- 4, 0)

$(- 4, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant

c

$c$ à

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

c

$c$ et

k

$k$ dans la formule.

(0 + 2 \sqrt{3}, 0)

$(0 + 2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.3

Simplifiez

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.4

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant

c

$c$ à

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Étape 7.5

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

c

$c$ et

k

$k$ dans la formule.

(0 - (2 \sqrt{3}), 0)

$(0 - (2 \sqrt{3}), 0)$

Étape 7.6

Simplifiez

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.7

Les ellipses ont deux foyers.

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{1}

${Focus}_{1}$ :

(2 \sqrt{3}, 0)

$(2 \sqrt{3}, 0)$

{Focus}_{2}

${Focus}_{2}$ :

(- 2 \sqrt{3}, 0)

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.1

Élevez

4

$4$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Étape 8.3.1.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez

- 1

$- 1$ par

4

$4$ .

\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Étape 8.3.1.4

Soustrayez

4

$4$ de

16

$16$ .

\frac{\sqrt{12}}{4}

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez

12

$12$ comme

2^{2} \cdot 3

$2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1.5.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

12

$12$ .

\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Étape 8.3.1.5.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Étape 8.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

\frac{2 \sqrt{3}}{4}

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à

2

$2$ et

4

$4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \sqrt{3}

$2 \sqrt{3}$ .

\frac{2 (\sqrt{3})}{4}

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre :

$(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ :

$(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ :

$(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ :

$(2 \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ :

$(- 2 \sqrt{3}, 0)$

Excentricité :

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 10

Saisissez VOTRE problème