Exemples

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

Étape 1

Utilisez la formule du produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Déterminez le produit scalaire.

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Étape 2.1

Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de chacun de leurs composants.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Étape 2.2.2

Additionnez $12$ et $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez $36$ et $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 10$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

La norme est la racine carrée de la somme des racines de chaque élément dans le vecteur.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $44$ et $10$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $44$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $22$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $5 (2 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 6.4.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Étape 6.4.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 6.4.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Étape 6.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

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