Exemples

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y - 3 = 0$

Étape 1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} + 12 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 12$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{1}$

Étape 2.3.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$d = 6$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Étape 2.4.2.1.3

Divisez $144$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$e = 0 - 36$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x + 6)}^{2} - 36$ .

${(x + 6)}^{2} - 36$

Étape 3

Remplacez $x^{2} + 12 x$ par ${(x + 6)}^{2} - 36$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

${(x + 6)}^{2} - 36 - y^{2} - 12 y = 3$

Étape 4

Déplacez $- 36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

${(x + 6)}^{2} - y^{2} - 12 y = 3 + 36$

Étape 5

Complétez le carré pour $- y^{2} - 12 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 6$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 6$ comme $- - 6$ .

$d = - - 6$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$d = 6$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $144$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$e = 36$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 6)}^{2} + 36$ .

$- {(y + 6)}^{2} + 36$

Étape 6

Remplacez $- y^{2} - 12 y$ par $- {(y + 6)}^{2} + 36$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} + 12 x - 12 y = 3$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} + 36 = 3 + 36$

Étape 7

Déplacez $36$ du côté droit de l’équation en ajoutant $36$ des deux côtés.

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3 + 36 - 36$

Étape 8

Simplifiez $3 + 36 - 36$ .

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Étape 8.1

Additionnez $3$ et $36$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 39 - 36$

Étape 8.2

Soustrayez $36$ de $39$ .

${(x + 6)}^{2} - {(y + 6)}^{2} = 3$

Étape 9

Divisez chaque terme par $3$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{3} - \frac{{(y + 6)}^{2}}{3} = 1$

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