Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 & 7 & - 1 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 1.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 4 & - 1 - 3 \cdot 3 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 & 1 & 12 \end{array}]$

Étape 1.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 1.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 4 & 12 + 2 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & - 5 & - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Étape 1.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{5}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 10 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 9 & 18 \end{array}]$

Étape 1.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 1.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & 18 - 9 \cdot 2 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 1.5.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 4 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 \cdot 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

Les positions pivot sont les emplacements avec le $1$ principal sur chaque ligne. Les colonnes pivot sont les colonnes qui ont une position pivot.

Positions pivot : $a_{11}$ et $a_{22}$

Colonnes pivot : $1$ et $2$

Étape 3

La base pour l’espace de colonne d’une matrice est formée en prenant en compte les colonnes pivot correspondantes dans la matrice d’origine. La dimension de $Col (A)$ correspond au nombre de vecteurs dans une base pour $Col (A)$ .

Base de $Col (A)$ : ${[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ 1 \end{array}]}$

Dimension de $Col (A)$ : $2$

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