Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 6$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{5}{2 (2)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{5}{4}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{5}{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{4^{2}}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{16}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{5}{4}) = 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + 5 (- \frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $5 (- \frac{5}{4})$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - 5 (\frac{5}{4}) - 6$

Étape 3.2.1.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} - 6$

Étape 3.2.1.7.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} + \frac{- 25}{4} - 6$

Étape 3.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} - 6$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - (\frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 6$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 6$

Étape 3.2.2.3

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8} + \frac{- 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 6 \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $- 6$ par $8$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{25 - 50 - 48}{8}$

Étape 3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 25 - 48}{8}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $48$ de $- 25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{- 73}{8}$

Étape 3.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{5}{4}) = - \frac{73}{8}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{73}{8}$ .

$- \frac{73}{8}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{73}{8})$

Étape 5

Saisissez VOTRE problème