Exemples

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Étape 1

Définissez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ égal à $0$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.1.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.1.1.3.5

Soustrayez $16$ de $8$ .

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

Étape 2.1.1.3.6

Multipliez $- 11$ par $2$ .

$- 8 - 22 + 30$

Étape 2.1.1.3.7

Soustrayez $22$ de $- 8$ .

$- 30 + 30$

Étape 2.1.1.3.8

Additionnez $- 30$ et $30$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ par $x - 2$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$30$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 x + 30$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$15 x$	+	$30$
							+	$15 x$	-	$30$
										$0$

Étape 2.1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 2 x - 15$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 2$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 5$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3

Saisissez VOTRE problème