Exemples

$\frac{4}{2 + 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4}{2 + 3 i}$ par le conjugué de $2 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{4 (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 + 4 (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{8 - 12 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 - 12 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 - 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 - 12 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{8 - 12 i}{4 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $9$ .

$\frac{8 - 12 i}{13}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{8 - 12 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{8}{13} + \frac{- 12 i}{13}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{13} - \frac{12 i}{13}$

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