Exemples

$(1, 2, - 3)$ , $(3, 5, - 3)$ , $(1, - 1, 1)$ , $(- 2, - 2, - 2)$

Étape 1

Avec les points $C = (1, - 1, 1)$ et $D = (- 2, - 2, - 2)$ , déterminez un plan contenant les points $A = (1, 2, - 3)$ et $B = (3, 5, - 3)$ qui est parallèle à la droite $CD$ .

$A = (1, 2, - 3)$

$B = (3, 5, - 3)$

$C = (1, - 1, 1)$

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Étape 2

Commencez par calculer le vecteur directeur de la droite qui passe par les points $C$ et $D$ . Vous pouvez pour cela prendre les valeurs des coordonnées du point $C$ et les soustraire de celles du point $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Étape 3

Remplacez les valeurs $x$ , $y$ et $z$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur $V_{CD}$ pour la droite $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Étape 4

Calculez le vecteur directeur d’une droite passant par des points $A$ et $B$ en utilisant la même méthode.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Étape 5

Remplacez les valeurs $x$ , $y$ et $z$ puis simplifiez pour obtenir le vecteur directeur $V_{AB}$ pour la droite $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Étape 6

Le plan solution contiendra une droite contenant des points $A$ et $B$ et avec le vecteur directeur $V_{A B}$ . Pour que ce plan soit parallèle à la droite $C D$ , déterminez le vecteur normal du plan qui est aussi orthogonal au vecteur directeur de la droite $C D$ . Calculez le vecteur normal en trouvant le produit en croix $V_{A B}$ x $V_{C D}$ en trouvant le déterminant de la matrice $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Étape 7

Calculez le déterminant.

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Étape 7.1

Choisissez la ligne ou la colonne avec le plus d’éléments $0$ . S’il n’y a aucun élément $0$ , choisissez la ligne ou la colonne que vous voulez. Multipliez chaque élément de la ligne $1$ par son cofacteur et ajoutez.

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Étape 7.1.1

Utilisez le tableau de signes correspondant.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 7.1.2

Le cofacteur est le mineur avec le signe modifié si les indices correspondent à une position $-$ sur le tableau de signes.

Étape 7.1.3

Le mineur pour $a_{11}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $1$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.1.4

Multipliez l’élément $a_{11}$ par son cofacteur.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.1.5

Le mineur pour $a_{12}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $2$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Étape 7.1.6

Multipliez l’élément $a_{12}$ par son cofacteur.

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Étape 7.1.7

Le mineur pour $a_{13}$ est le déterminant dont la ligne $1$ et la colonne $3$ sont supprimées.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 7.1.8

Multipliez l’élément $a_{13}$ par son cofacteur.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.1.9

Additionnez les termes entre eux.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.2

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 7.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- - 0$ .

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Étape 7.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 9$ et $0$ .

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

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Étape 7.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 0)$ .

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Étape 7.3.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.3.2.2

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Étape 7.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Étape 7.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Étape 7.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Étape 7.4.2.1.2

Multipliez $- (- 3 \cdot 3)$ .

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Étape 7.4.2.1.2.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Étape 7.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $- 2$ et $9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Déplacez $- 9$ à gauche de $i$ .

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Étape 7.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Étape 8

Résolvez l’expression $(- 9) x + (6) y + (7) z$ sur le point $A$ car il est dans le plan. Cela permet de calculer la constante dans l’équation pour le plan.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Étape 8.1.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Étape 8.1.3

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$- 9 + 12 - 21$

Étape 8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 8.2.1

Additionnez $- 9$ et $12$ .

$3 - 21$

Étape 8.2.2

Soustrayez $21$ de $3$ .

$- 18$

Étape 9

Ajoutez la constante pour déterminer l’équation du plan pour obtenir $(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ .

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Étape 10

Multipliez $7$ par $z$ .

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

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