Exemples

$x - y = 4$ , $4 x - y = - 5$

Étape 1

Pour déterminer l’intersection de la droite passant par un point $(p, q, r)$ perpendiculaire au plan $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ et au plan $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Déterminez les vecteurs normaux du plan $P_{1}$ et du plan $P_{2}$ lorsque les vecteurs normaux sont $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ et $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Vérifiez si le produit scalaire est 0.

2. Créez un ensemble d’équations paramétriques de sorte que $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ .

3. Remplacez ces équations par l’équation pour le plan $P_{2}$ de sorte que $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ et résolvez pour $t$ .

4. Utilisez la valeur de $t$ pour résoudre les équations paramétriques $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ pour $t$ afin de déterminer l’intersection $(x, y, z)$ .

Étape 2

Déterminez les vecteurs normaux pour chaque plan et déterminez s’ils sont perpendiculaires en calculant le produit scalaire.

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Étape 2.1

$P_{1}$ est $x - y = 4$ . Déterminez le vecteur normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 1, - 1, 0 ⟩$

Étape 2.2

$P_{2}$ est $4 x - y = - 5$ . Déterminez le vecteur normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ à partir de l’équation de plan de la forme $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 4, - 1, 0 ⟩$

Étape 2.3

Calculez le produit scalaire de $n_{1}$ et $n_{2}$ en additionnant les produits des valeurs $x$ , $y$ et $z$ correspondantes dans les vecteurs normaux.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4

Simplifiez le produit scalaire.

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Étape 2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$1 \cdot 4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 + 1 + 0 \cdot 0$

Étape 2.4.2.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$4 + 1 + 0$

Étape 2.4.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.4.3.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$5 + 0$

Étape 2.4.3.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$5$

Étape 3

Ensuite, créez un ensemble d’équations paramétriques $x = p + a t$ , $y = q + b t$ et $z = r + c t$ en utilisant l’origine $(0, 0, 0)$ pour le point $(p, q, r)$ et les valeurs du vecteur normal $5$ pour les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ . Cet ensemble d’équations paramétriques représente la droite passant par l’origine qui est perpendiculaire à $P_{1}$ $x - y = 4$ .

$x = 0 + 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Étape 4

Remplacez l’expression pour $x$ , $y$ et $z$ dans l’équation pour $P_{2}$ $4 x - y = - 5$ .

$4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Étape 5.1.1

Associez les termes opposés dans $4 (0 + 1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Étape 5.1.1.1

Additionnez $0$ et $1 \cdot t$ .

$4 (1 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = - 5$

Étape 5.1.1.2

Soustrayez $1 \cdot t$ de $0$ .

$4 (1 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = - 5$

Étape 5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $t$ par $1$ .

$4 t - (- 1 \cdot t) = - 5$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$4 t - - t = - 5$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $- - t$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 t + 1 t = - 5$

Étape 5.1.2.3.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$4 t + t = - 5$

Étape 5.1.3

Additionnez $4 t$ et $t$ .

$5 t = - 5$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $5 t = - 5$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $5 t = - 5$ par $5$ .

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 t}{5} = \frac{- 5}{5}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 5}{5}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $- 5$ par $5$ .

$t = - 1$

Étape 6

Résolvez les équations paramétriques pour $x$ , $y$ et $z$ en utilisant la valeur de $t$ .

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Étape 6.1

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 0 + 1 \cdot (- 1)$

Étape 6.1.2

Simplifiez $0 + 1 \cdot (- 1)$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = 0 - 1$

Étape 6.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$x = - 1$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0 - 1 \cdot - 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez $0 - 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 0 + 1$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$y = 1$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $z$ .

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Étape 6.3.1

Supprimez les parenthèses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1)$

Étape 6.3.2

Simplifiez $0 + 0 \cdot (- 1)$ .

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$z = 0 + 0$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$z = 0$

Étape 6.4

Les équations paramétriques résolues pour $x$ , $y$ et $z$ .

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

$x = - 1$

$y = 1$

$z = 0$

Étape 7

En utilisant les valeurs calculées pour $x$ , $y$ et $z$ , le point d’intersection est $(- 1, 1, 0)$ .

$(- 1, 1, 0)$

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