Exemples

Déterminer la base et la dimension de l’espace nul de la matrice
Étape 1
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 2
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.1.2
Simplifiez .
Étape 2.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.2.2
Simplifiez .
Étape 2.3
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.3.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.3.2
Simplifiez .
Étape 2.4
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.4.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.4.2
Simplifiez .
Étape 2.5
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.5.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.5.2
Simplifiez .
Étape 2.6
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.6.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 2.6.2
Simplifiez .
Étape 3
Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.
Étape 4
Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.
Étape 5
Écrivez la solution comme une combinaison linéaire de vecteurs.
Étape 6
Écrivez comme un ensemble de solutions.
Étape 7
La solution est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.
Étape 8
Vérifiez si les vecteurs sont linéairement indépendants.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.1
Indiquez les vecteurs.
Étape 8.2
Écrivez les vecteurs sous forme de matrice.
Étape 8.3
Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation a des solutions non triviales.
Étape 8.4
Écrivez comme une matrice augmentée pour .
Étape 8.5
Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.1.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.1.2
Simplifiez .
Étape 8.5.2
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.2.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.2.2
Simplifiez .
Étape 8.5.3
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.3.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.3.2
Simplifiez .
Étape 8.5.4
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.4.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.4.2
Simplifiez .
Étape 8.5.5
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.5.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.5.2
Simplifiez .
Étape 8.5.6
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.6.1
Multipliez chaque élément de par pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.6.2
Simplifiez .
Étape 8.5.7
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.7.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.7.2
Simplifiez .
Étape 8.5.8
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.8.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.8.2
Simplifiez .
Étape 8.5.9
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.9.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.9.2
Simplifiez .
Étape 8.5.10
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.10.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.10.2
Simplifiez .
Étape 8.5.11
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 8.5.11.1
Réalisez l’opération de ligne pour faire de l’entrée sur un .
Étape 8.5.11.2
Simplifiez .
Étape 8.6
Retirez les lignes qui ne comportent que des zéros.
Étape 8.7
Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.
Étape 8.8
Comme la seule solution à est la solution triviale, les vecteurs sont dépendants linéairement.
Indépendant linéairement
Indépendant linéairement
Étape 9
Les vecteurs étant linéairement indépendants, ils forment une base pour l’espace nul de la matrice.
Base de  :
Dimension de  :
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